ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 782 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2? на 5? на 8? Приведите пример числа каждого вида.

а) Пусть \(2n\) — чётное число, \(2n + 1\) — нечётное число; тогда сумма \(2n + (2n + 1) = 4n + 1\) — нечётное число.

б) Пусть \(2n + 1\) и \(2n + 3\) — нечётные числа; тогда сумма \((2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1)\) — чётное число.

в) Пусть даны два последовательных числа: \(n\) и \(n + 1\); тогда сумма \(n + (n + 1) = 2n + 1\) — нечётное число.

г) Пусть даны два последовательных числа: \(n\) и \(n + 1\); произведение \(n(n + 1)\) — чётное число, так как один из множителей делится на 2.

а) Пусть \(2n\) — чётное число, то есть число, которое делится на 2 без остатка. Число \(2n + 1\) — нечётное, так как оно на 1 больше чётного числа и не делится на 2. Рассмотрим сумму этих чисел: \(2n + (2n + 1) = 4n + 1\). Число \(4n\) чётное, так как делится на 2, а прибавление 1 делает сумму нечётной. Таким образом, сумма чётного и нечётного числа всегда нечётная, так как она представляется в виде \(2k + 1\), где \(k\) — целое число.

б) Пусть два числа \(2n + 1\) и \(2n + 3\) — нечётные, то есть оба не делятся на 2. Сложим их: \((2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4\). Вынося 4 за скобки, получаем \(4(n + 1)\), что делится на 2, а значит сумма чётна. Это подтверждает, что сумма двух нечётных чисел всегда чётна, потому что нечётные числа имеют вид \(2m + 1\), и их сумма даёт число, кратное 2.

в) Рассмотрим два последовательных числа \(n\) и \(n + 1\). Их сумма равна \(n + (n + 1) = 2n + 1\). Выражение \(2n\) чётное, а прибавление 1 делает сумму нечётной. Это верно для любых последовательных чисел, так как одно из них обязательно чётное, а другое нечётное, и их сумма не может быть чётной.

г) Для произведения двух последовательных чисел \(n\) и \(n + 1\) рассмотрим факт, что среди двух последовательных чисел одно обязательно чётное. Значит, произведение \(n(n + 1)\) содержит множитель, делящийся на 2, и, следовательно, само произведение чётное. Это свойство справедливо для любых последовательных чисел, так как чётность одного из множителей гарантирует чётность произведения.