ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 781 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2? на 5? на 8? Приведите пример числа каждого вида.

1) При делении на 2 остатки 0 и 1. Множество разбивается на классы \(2n\) и \(2n + 1\).

Например: при делении числа 6 на 2 остаток 0; при делении числа 7 на 2 остаток 1.

2) При делении на 5 остатки 0, 1, 2, 3, 4. Множество разбивается на классы \(5n\), \(5n + 1\), \(5n + 2\), \(5n + 3\), \(5n + 4\).

Например: при делении числа 10 на 5 остаток 0; при делении числа 11 на 5 остаток 1; при делении числа 12 на 5 остаток 2; при делении числа 13 на 5 остаток 3; при делении числа 14 на 5 остаток 4.

3) При делении на 8 остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Множество разбивается на классы \(8n\), \(8n + 1\), \(8n + 2\), \(8n + 3\), \(8n + 4\), \(8n + 5\), \(8n + 6\), \(8n + 7\).

Например: при делении числа 16 на 8 остаток 0; при делении числа 17 на 8 остаток 1; при делении числа 18 на 8 остаток 2; при делении числа 19 на 8 остаток 3; при делении числа 20 на 8 остаток 4; при делении числа 21 на 8 остаток 5; при делении числа 22 на 8 остаток 6; при делении числа 23 на 8 остаток 7.

1) При делении целых неотрицательных чисел на 2 возможны только два остатка — 0 и 1. Это связано с тем, что при делении на число \(m\) возможны остатки от 0 до \(m — 1\), то есть всего \(m\) вариантов. В случае \(m = 2\) это два варианта: либо число делится на 2 без остатка, либо при делении остаётся 1. Множество всех неотрицательных целых чисел можно разбить на два непересекающихся класса, которые описываются формулами \(2n\) и \(2n + 1\), где \(n\) — целое неотрицательное число. Класс \(2n\) включает все чётные числа, так как они кратны 2, а класс \(2n + 1\) — все нечётные числа, которые при делении на 2 дают остаток 1. Например, число 6 делится на 2 без остатка, поэтому оно принадлежит классу \(2n\) с \(n = 3\). Число 7 при делении на 2 даёт остаток 1, значит оно принадлежит классу \(2n + 1\) с \(n = 3\). Таким образом, вся совокупность чисел разбивается на две группы по признаку чётности.

2) При делении на 5 ситуация расширяется, так как возможных остатков становится пять — 0, 1, 2, 3 и 4. Это значит, что множество неотрицательных целых чисел разбивается на пять классов, каждый из которых можно представить в виде формул: \(5n\), \(5n + 1\), \(5n + 2\), \(5n + 3\), \(5n + 4\), где \(n\) — целое неотрицательное число. Класс \(5n\) содержит числа, которые делятся на 5 без остатка, например 10, так как 10 = 5 × 2. Класс \(5n + 1\) содержит числа, при делении на 5 дающие остаток 1, например 11 = 5 × 2 + 1. Аналогично, классы \(5n + 2\), \(5n + 3\), \(5n + 4\) содержат числа с остатками 2, 3 и 4 соответственно. Например, 12 = 5 × 2 + 2, 13 = 5 × 2 + 3, 14 = 5 × 2 + 4. Каждый из этих классов бесконечен, так как при увеличении \(n\) на 1 число увеличивается на 5, сохраняя остаток при делении. Это деление позволяет классифицировать числа по их поведению при делении на 5 и удобно для решения задач, связанных с делимостью и остатками.

3) При делении на 8 количество возможных остатков увеличивается до восьми: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Следовательно, множество неотрицательных целых чисел делится на восемь классов, которые можно записать в виде: \(8n\), \(8n + 1\), \(8n + 2\), \(8n + 3\), \(8n + 4\), \(8n + 5\), \(8n + 6\), \(8n + 7\), где \(n\) — целое неотрицательное число. Класс \(8n\) включает числа, делящиеся на 8 без остатка, например 16 = 8 × 2. Класс \(8n + 1\) содержит числа, дающие остаток 1 при делении на 8, например 17 = 8 × 2 + 1. Аналогично, числа 18, 19, 20, 21, 22 и 23 принадлежат классам \(8n + 2\), \(8n + 3\), \(8n + 4\), \(8n + 5\), \(8n + 6\) и \(8n + 7\) соответственно. Каждый класс бесконечен, поскольку при увеличении \(n\) на 1 число увеличивается на 8, сохраняя остаток при делении. Такое разбиение важно для понимания структуры чисел в модульной арифметике и широко используется в различных математических задачах и приложениях.