ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 778 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

У Наташи есть аквариум с прямоугольным дном, одна сторона которого на 16 см больше другой. Она заменила его большим аквариумом, длина и ширина дна которого на 4 см больше. Она заметила, что если заполнить этот аквариум водой на высоту 30 см, то потребуется на 6 л больше воды, чем требовалось для старого аквариума при заполнении его на такую же высоту. Найдите размеры дна нового аквариума.

Пусть одна сторона старого аквариума равна \( x \) см, другая — \( x + 16 \) см. Стороны нового аквариума равны \( x + 4 \) и \( x + 20 \) см.

Объем воды в новом аквариуме больше на 6000 см³, при высоте 30 см:

\( 30(x + 4)(x + 20) — 30x(x + 16) = 6000 \)

Разделим на 30:

\( (x + 4)(x + 20) — x(x + 16) = 200 \)

Раскроем скобки:

\( x^2 + 20x + 4x + 80 — x^2 — 16x = 200 \)

Упростим:

\( 8x + 80 = 200 \)

Вычислим \( x \):

\( 8x = 120 \), значит \( x = 15 \)

Размеры нового аквариума:

ширина \( x + 4 = 19 \) см, длина \( x + 20 = 35 \) см.

Ответ: 19 см и 35 см.

Пусть одна сторона старого аквариума равна \( x \) сантиметров. Поскольку другая сторона на 16 сантиметров больше, она будет равна \( x + 16 \) сантиметров. Таким образом, площадь основания старого аквариума равна произведению этих двух сторон, то есть \( x \cdot (x + 16) \) квадратных сантиметров. Высота заполнения аквариума водой в задаче фиксирована и равна 30 сантиметров, поэтому объем воды, необходимый для заполнения старого аквариума до этой высоты, можно найти, умножив площадь основания на высоту. Это дает объем \( 30 \cdot x \cdot (x + 16) \) кубических сантиметров. Объем измеряется в кубических сантиметрах, а 1 литр равен 1000 кубическим сантиметрам.

Новый аквариум отличается от старого тем, что его длина и ширина увеличены на 4 сантиметра. Следовательно, стороны дна нового аквариума будут равны \( x + 4 \) и \( x + 16 + 4 = x + 20 \) сантиметров соответственно. Тогда площадь основания нового аквариума равна \( (x + 4) \cdot (x + 20) \) квадратных сантиметров. При той же высоте 30 сантиметров объем воды, необходимый для заполнения нового аквариума, равен \( 30 \cdot (x + 4) \cdot (x + 20) \) кубических сантиметров. Согласно условию задачи, объем воды, необходимый для заполнения нового аквариума, на 6 литров (то есть на 6000 кубических сантиметров) больше, чем для старого. Это позволяет записать уравнение:

\( 30(x + 4)(x + 20) — 30x(x + 16) = 6000 \).

Для удобства упростим уравнение, разделив обе части на 30:

\( (x + 4)(x + 20) — x(x + 16) = 200 \).

Далее раскроем скобки в обеих частях выражения. В первом произведении:

\( (x + 4)(x + 20) = x^2 + 20x + 4x + 80 = x^2 + 24x + 80 \).

Во втором произведении:

\( x(x + 16) = x^2 + 16x \).

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

\( x^2 + 24x + 80 — (x^2 + 16x) = 200 \).

Теперь упростим уравнение, сократив одинаковые члены:

\( x^2 + 24x + 80 — x^2 — 16x = 200 \),

что дает

\( 8x + 80 = 200 \).

Вычислим \( x \), сначала вычтем 80 из обеих частей уравнения:

\( 8x = 200 — 80 \),

получаем

\( 8x = 120 \).

Теперь разделим обе части на 8:

\( x = \frac{120}{8} = 15 \).

Таким образом, длина меньшей стороны старого аквариума равна 15 сантиметрам. Теперь найдем размеры нового аквариума, подставив \( x = 15 \) в выражения для его сторон. Ширина нового аквариума равна \( 15 + 4 = 19 \) сантиметров, а длина равна \( 15 + 20 = 35 \) сантиметров.

Ответ: размеры дна нового аквариума равны 19 сантиметров и 35 сантиметров.