ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 757 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

ИССЛЕДУЕМ

1) Используя формулу квадрата двучлена, возведите в квадрат трёхчлен \(a + b + c.\) (Указание. Сделайте замену \(a + b = x\).) Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически, изобразив квадрат со стороной \(a + b + c.\)

2) С помощью полученной формулы возведите в квадрат:

\(a — b + c;\)

\(a — b — c.\)

3) По аналогии с формулой, полученной в п. 1, запишите формулу для преобразования в многочлен выражения \((a + b + c + d)^2.\) Проверьте с помощью умножения, верно ли записанное равенство.

4) Пользуясь выведенной формулой, возведите в квадрат

\(a + b — c + d.\)

1) Сделали замену \(a + b = x\). Тогда
\((a + b + c)^2 = (x + c)^2 = x^2 + 2xc + c^2 = (a + b)^2 + 2c(a + b) + c^2 =\)
\(= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2.\)

2) Используем формулу из п.1 с учётом знаков:
\((a — b + c)^2 = a^2 — 2ab + b^2 + 2ac — 2bc + c^2.\)
\((a — b — c)^2 = a^2 — 2ab + b^2 — 2ac + 2bc + c^2.\)

3) Сделали замену \(a + b + c = x\). Тогда
\((a + b + c + d)^2 = (x + d)^2 = x^2 + 2xd + d^2 =\)
\(= (a + b + c)^2 + 2d(a + b + c) + d^2 =\)
\(= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 + 2ad + 2bd + 2cd + d^2.\)

4) По формуле из п.3 с учётом знаков:
\((a + b — c + d)^2 = a^2 + 2ab — 2ac + 2ad + b^2 — 2bc + 2bd + c^2 — 2cd + d^2.\)

1) Рассмотрим выражение \( (a + b + c)^2 \). Чтобы упростить вычисления, сделаем замену: положим \( a + b = x \). Тогда данное выражение перепишется как \( (x + c)^2 \). Используя формулу квадрата суммы двух слагаемых, получаем \( (x + c)^2 = x^2 + 2xc + c^2 \). Теперь подставим обратно \( x = a + b \), тогда \( x^2 = (a + b)^2 \). Раскроем квадрат двучлена: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Подставляя это в исходное выражение, получаем \( (a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \). Таким образом, квадрат суммы трёх членов равен сумме квадратов каждого члена и удвоенных произведений всех пар.

2) Теперь рассмотрим выражения \( (a — b + c)^2 \) и \( (a — b — c)^2 \). Чтобы возвести их в квадрат, воспользуемся формулой из первого пункта, учитывая знаки перед членами. Для \( (a — b + c)^2 \) квадрат раскрывается как \( a^2 — 2ab + b^2 + 2ac — 2bc + c^2 \), где минусы появляются из-за отрицательного знака перед \( b \). Аналогично для \( (a — b — c)^2 \) получаем \( a^2 — 2ab + b^2 — 2ac + 2bc + c^2 \), здесь минусы стоят перед \( b \) и \( c \), что отражается на знаках соответствующих слагаемых. В обоих случаях результат содержит квадраты отдельных членов и удвоенные произведения с учетом знаков.

3) Рассмотрим выражение \( (a + b + c + d)^2 \). Снова сделаем замену: положим \( a + b + c = x \). Тогда выражение примет вид \( (x + d)^2 \). По формуле квадрата суммы двучлена это будет \( x^2 + 2xd + d^2 \). Подставим обратно \( x = a + b + c \), тогда \( x^2 = (a + b + c)^2 \). Используя формулу из первого пункта, раскроем \( (a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \). Подставляя это в исходное выражение, получаем \( (a + b + c + d)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 + 2ad + 2bd + 2cd + d^2 \). Для проверки умножим \( (a + b + c + d)(a + b + c + d) \) и убедимся, что все слагаемые совпадают, что подтверждает правильность формулы.

4) Возьмём выражение \( (a + b — c + d)^2 \). Используем формулу из предыдущего пункта, учитывая знак минус перед \( c \). Тогда квадрат будет равен \( a^2 + 2ab — 2ac + 2ad + b^2 — 2bc + 2bd + c^2 — 2cd + d^2 \). Здесь каждый член возводится в квадрат, а также учитываются удвоенные произведения с учетом знаков перед соответствующими переменными. Таким образом, знак минуса меняет знак соответствующих произведений, что важно при раскрытии скобок и упрощении выражения.