ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 756 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения \(x^2 + \frac{1}{x^2}\), если:

а) \(x + \frac{1}{x} = 2,5;\)

б) \(x — \frac{1}{x} = 2.\)

а) \(x + \frac{1}{x} = 2,5\)

Возводим в квадрат: \(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 2,5^2\)

Раскрываем скобки: \(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 6,25\)

Вычитаем 2: \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 4,25\)

б) \(x — \frac{1}{x} = 2\)

Возводим в квадрат: \(\left(x — \frac{1}{x}\right)^2 = 2^2\)

Раскрываем скобки: \(x^2 — 2 + \frac{1}{x^2} = 4\)

Прибавляем 2: \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 6\)

а) Дано уравнение \(x + \frac{1}{x} = 2,5\). Чтобы найти значение выражения \(x^2 + \frac{1}{x^2}\), сначала возведём обе части уравнения в квадрат. Это позволит нам использовать формулу квадрата суммы: \(\left(a + b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). В нашем случае \(a = x\), \(b = \frac{1}{x}\), значит, \(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\).

Подставляя значения, получаем: \(2,5^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\). Вычисляем левую часть: \(2,5^2 = 6,25\). Таким образом, уравнение принимает вид \(6,25 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\).

Чтобы выразить \(x^2 + \frac{1}{x^2}\), нужно из обеих частей уравнения вычесть 2: \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 6,25 — 2 = 4,25\). Это и есть искомое значение.

б) Дано уравнение \(x — \frac{1}{x} = 2\). Аналогично первому случаю возводим обе части в квадрат, используя формулу квадрата разности: \(\left(a — b\right)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Здесь \(a = x\), \(b = \frac{1}{x}\), значит \(\left(x — \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 — 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\).

Подставляем значения: \(2^2 = x^2 — 2 + \frac{1}{x^2}\). Вычисляем левую часть: \(2^2 = 4\). Получаем уравнение \(4 = x^2 — 2 + \frac{1}{x^2}\).

Для нахождения \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) прибавляем 2 к обеим частям: \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2 = 6\). Это и есть ответ.

Таким образом, в обоих случаях, возведение в квадрат позволяет выразить сложное выражение через известные величины и получить искомое значение \(x^2 + \frac{1}{x^2}\).