ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 755 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

РАССУЖДАЕМ

Дополните равенство:

а) \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 …;\)

б) \(x^2 + y^2 = (x — y)^2 …\)

а) Раскроем квадрат: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \). Чтобы получить \( x^2 + y^2 \), вычтем \( 2xy \). Получаем:
\( x^2 + y^2 = (x + y)^2 — 2xy \).

б) Раскроем квадрат: \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \). Чтобы получить \( x^2 + y^2 \), прибавим \( 2xy \). Получаем:
\( x^2 + y^2 = (x — y)^2 + 2xy \).

а) Начнем с раскрытия выражения \( (x + y)^2 \). По формуле квадрата суммы получаем, что \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \). Это равенство показывает, что квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов этих чисел плюс удвоенное произведение этих чисел. Если нам нужно выразить сумму квадратов \( x^2 + y^2 \), то из этого выражения следует вычесть удвоенное произведение \( 2xy \), чтобы избавиться от дополнительного слагаемого. Таким образом, получаем равенство \( x^2 + y^2 = (x + y)^2 — 2xy \).

б) Аналогично рассмотрим выражение \( (x — y)^2 \). По формуле квадрата разности двух чисел это выражение равно \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \). Здесь сумма квадратов \( x^2 + y^2 \) выражена через квадрат разности и минус удвоенное произведение. Чтобы получить из этого выражения сумму квадратов, нужно к \( (x — y)^2 \) прибавить \( 2xy \), компенсируя тем самым отрицательное слагаемое. В итоге имеем равенство \( x^2 + y^2 = (x — y)^2 + 2xy \).

Таким образом, оба равенства позволяют представить сумму квадратов двух чисел через квадраты суммы и разности, корректируя их на удвоенное произведение. Это полезные формулы для упрощения выражений и решения уравнений, где встречаются суммы квадратов. Важно помнить, что \( 2xy \) — это именно удвоенное произведение переменных \( x \) и \( y \), которое корректирует разницу между квадратом суммы или разности и суммой квадратов.