ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 754 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выделите квадрат двучлена:

а) \(a^2 + 3ab + b^2;\)

б) \(x^2 + xy + y^2;\)

в) \(m^2 — mn + n^2;\)

г) \(4a^2 + 5ac + c^2.\)

а) \(a^2 + 3ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 + ab = (a + b)^2 + ab\)

б) \(x^2 + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 — xy = (x + y)^2 — xy\)

в) \(m^2 — mn + n^2 = m^2 — 2mn + n^2 + mn = (m — n)^2 + mn\)

г) \(4a^2 + 5ac + c^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot c + c^2 + ac = (2a + c)^2 + ac\)

а) Выражение \(a^2 + 3ab + b^2\) содержит три слагаемых, из которых два — это квадратные члены \(a^2\) и \(b^2\), а средний член — \(3ab\). Чтобы выделить квадрат двучлена, нужно представить средний член как сумму двух частей, одна из которых будет удвоенным произведением \(a\) и \(b\), а другая — остатком. Запишем \(3ab\) как \(2ab + ab\). Тогда выражение превращается в \(a^2 + 2ab + b^2 + ab\). Первые три члена \(a^2 + 2ab + b^2\) — это разложение квадрата суммы двучлена \((a + b)^2\). Остаток \(+ ab\) остается вне квадрата. Таким образом, \(a^2 + 3ab + b^2 = (a + b)^2 + ab\).

б) В выражении \(x^2 + xy + y^2\) также три слагаемых, где \(x^2\) и \(y^2\) — квадраты, а \(xy\) — смешанный член. Чтобы выделить квадрат двучлена, нужно представить \(xy\) как часть двойного произведения. Удвоенное произведение будет \(2xy\), а у нас есть только \(xy\), значит не хватает \(xy\) для полного квадрата. Запишем \(x^2 + xy + y^2\) как \(x^2 + 2xy + y^2 — xy\). Первые три члена \(x^2 + 2xy + y^2\) — это квадрат суммы \((x + y)^2\), а минус \(xy\) — корректировка. Итог: \(x^2 + xy + y^2 = (x + y)^2 — xy\).

в) В выражении \(m^2 — mn + n^2\) также можно выделить квадрат двучлена. Здесь \(m^2\) и \(n^2\) — квадраты, а смешанный член \(-mn\). Для квадрата разности двучлена средний член должен быть \(-2mn\), а у нас только \(-mn\). Значит, нужно добавить и вычесть \(mn\): \(m^2 — mn + n^2 = m^2 — 2mn + n^2 + mn\). Первые три члена \(m^2 — 2mn + n^2\) — это квадрат разности \((m — n)^2\), а остаток \(+ mn\) остается отдельно. Получаем: \(m^2 — mn + n^2 = (m — n)^2 + mn\).

г) В выражении \(4a^2 + 5ac + c^2\) можно выделить квадрат двучлена, если представить \(4a^2\) как \((2a)^2\). Средний член \(5ac\) нужно разложить на \(2 \cdot 2a \cdot c = 4ac\) и остаток \(+ ac\). Тогда \(4a^2 + 5ac + c^2 = (2a)^2 + 4ac + c^2 + ac\). Первые три члена \((2a)^2 + 4ac + c^2\) — это квадрат суммы \((2a + c)^2\), а остаток \(+ ac\) остается вне квадрата. Итог: \(4a^2 + 5ac + c^2 = (2a + c)^2 + ac\).