ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 753 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выделите квадрат двучлена:

а) \(a^2 + 6a — 10;\)

б) \(x^2 — 4x + 1;\)

в) \(c^2 + 10c;\)

г) \(x^2 + 3x — 0,25;\)

д) \(a^2 — \frac{1}{4}a + \frac{1}{4};\)

е) \(b^2 + b + 1.\)

а) \(a^2 + 6a — 10 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 — 3^2 — 10 = (a + 3)^2 — 19\)

б) \(x^2 — 4x + 1 = x^2 — 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 — 2^2 + 1 = (x — 2)^2 — 3\)

в) \(c^2 + 10c = c^2 + 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 — 5^2 = (c + 5)^2 — 25\)

г) \(x^2 + 3x — 0,25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1,5 + 1,5^2 — 1,5^2 — 0,25 = (x + 1,5)^2 — 2,5\)

д) \(a^2 — \frac{1}{4}a + \frac{1}{4} = a^2 — 2 \cdot a \cdot \frac{1}{8} + \left(\frac{1}{8}\right)^2 — \left(\frac{1}{8}\right)^2 + \frac{1}{4} = \left(a — \frac{1}{8}\right)^2 + \frac{15}{64}\)

е) \(b^2 + b + 1 = b^2 + 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\)

а) Начинаем с выражения \(a^2 + 6a — 10\). Чтобы выделить квадрат двучлена, нужно представить первые два слагаемых как квадрат суммы. Для этого используем формулу разложения квадрата: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Здесь \(a^2\) уже есть, а \(6a\) можно представить как \(2 \cdot a \cdot 3\). Значит, \(b = 3\). Тогда добавляем и вычитаем \(3^2 = 9\), чтобы не менять выражение: \(a^2 + 6a = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 9 — 9 = (a + 3)^2 — 9\). Теперь учитываем оставшийся член \(-10\), получаем итог: \((a + 3)^2 — 19\).

б) Рассмотрим \(x^2 — 4x + 1\). Аналогично выделяем квадрат двучлена. \(x^2\) и \(-4x\) можно представить как \(x^2 — 2 \cdot x \cdot 2\), значит \(b = 2\). Добавляем и вычитаем \(2^2 = 4\): \(x^2 — 4x = x^2 — 2 \cdot x \cdot 2 + 4 — 4 = (x — 2)^2 — 4\). С учётом оставшейся единицы: \((x — 2)^2 — 3\).

в) Для \(c^2 + 10c\) выделяем квадрат, используя \(c^2 + 2 \cdot c \cdot 5\), где \(b = 5\). Добавляем и вычитаем \(25\): \(c^2 + 10c = c^2 + 2 \cdot c \cdot 5 + 25 — 25 = (c + 5)^2 — 25\). Здесь нет свободного члена, поэтому результат именно такой.

г) В выражении \(x^2 + 3x — 0,25\) выделяем квадрат двучлена с помощью \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1,5\), где \(b = 1,5\). Добавляем и вычитаем \(1,5^2 = 2,25\): \(x^2 + 3x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1,5 + 2,25 — 2,25 = (x + 1,5)^2 — 2,25\). Учитываем \(-0,25\), получаем \((x + 1,5)^2 — 2,5\).

д) В выражении \(a^2 — \frac{1}{4} a + \frac{1}{4}\) выделяем квадрат двучлена. Представляем \(-\frac{1}{4} a\) как \(-2 \cdot a \cdot \frac{1}{8}\), значит \(b = \frac{1}{8}\). Добавляем и вычитаем \(\left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64}\): \(a^2 — \frac{1}{4} a = a^2 — 2 \cdot a \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{64} — \frac{1}{64} = \left(a — \frac{1}{8}\right)^2 — \frac{1}{64}\). Теперь добавляем \(\frac{1}{4} = \frac{16}{64}\), итог: \(\left(a — \frac{1}{8}\right)^2 + \frac{15}{64}\).

е) В \(b^2 + b + 1\) выделяем квадрат двучлена, записывая \(b\) как \(2 \cdot b \cdot \frac{1}{2}\), значит \(b = \frac{1}{2}\). Добавляем и вычитаем \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\): \(b^2 + b = b^2 + 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} — \frac{1}{4} = \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 — \frac{1}{4}\). Учитываем \(+1 = \frac{4}{4}\), итог: \(\left(b + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\).