ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 752 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите равенство:

а) \((a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 = a^2;\)

б) \((1 — a)^2 + 2a(1 — a) + a^2 = 1;\)

в) \((x + 1)^2 — 4(x + 1) + 4 = (x — 1)^2;\)

г) \((x + y)^2 — 2(x + y)(x — y) + (x — y)^2 = 4y^2.\)

а) Раскроем скобки: \((a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1\), тогда
\((a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 = a^2 — 2a + 1 + 2a — 2 + 1 = a^2\).

б) Раскроем скобки: \((1 — a)^2 = 1 — 2a + a^2\),
тогда \((1 — a)^2 + 2a(1 — a) + a^2 = 1 — 2a + a^2 + 2a — 2a^2 + a^2 = 1\).

в) Раскроем скобки слева: \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\),
тогда \((x + 1)^2 — 4(x + 1) + 4 = x^2 + 2x + 1 — 4x — 4 + 4 = x^2 — 2x + 1 =\)
\(= (x — 1)^2\).

г) Раскроем скобки: \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\),
\((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\),
\(- 2(x + y)(x — y) = -2(x^2 — y^2) = -2x^2 + 2y^2\),
складываем: \(x^2 + 2xy + y^2 — 2x^2 + 2y^2 + x^2 — 2xy + y^2 = 4y^2\).

а) Рассмотрим выражение \((a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1\). Сначала раскроем квадрат: \((a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1\). Это стандартное разложение квадрата разности. Далее подставим это в исходное выражение: \(a^2 — 2a + 1 + 2(a — 1) + 1\). Следующий шаг — раскрыть скобки во втором слагаемом: \(2(a — 1) = 2a — 2\). Теперь выражение принимает вид \(a^2 — 2a + 1 + 2a — 2 + 1\). При сложении членов с одинаковыми степенями переменной \(a\) замечаем, что \(- 2a + 2a = 0\), а константы \(1 — 2 + 1 = 0\), поэтому остается только \(a^2\). Таким образом, доказано, что исходное выражение равно \(a^2\).

б) В выражении \((1 — a)^2 + 2a(1 — a) + a^2\) сначала раскроем квадрат: \((1 — a)^2 = 1 — 2a + a^2\), что является квадратом разности. Следующим шагом раскроем произведение: \(2a(1 — a) = 2a — 2a^2\). Подставим эти разложения обратно в выражение: \(1 — 2a + a^2 + 2a — 2a^2 + a^2\). При сложении членов с одинаковыми степенями переменной \(a\) видим, что \(- 2a + 2a = 0\), а \(a^2 — 2a^2 + a^2 = 0\), так как \(1a^2 — 2a^2 + 1a^2 = 0\). Константа \(1\) остается без изменений. В итоге сумма равна \(1\), что и требовалось доказать.

в) Для равенства \((x + 1)^2 — 4(x + 1) + 4 = (x — 1)^2\) сначала раскроем квадрат слева: \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\). Подставим это в выражение: \(x^2 + 2x + 1 — 4(x + 1) + 4\). Раскроем скобки: \(-4(x + 1) = -4x — 4\). Теперь выражение становится \(x^2 + 2x + 1 — 4x — 4 + 4\). Объединим подобные члены: \(2x — 4x = -2x\), а \(1 — 4 + 4 = 1\). Итоговое выражение слева: \(x^2 — 2x + 1\). Справа у нас квадрат разности: \((x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1\). Значит, обе части равны, что и требовалось.

г) Рассмотрим выражение \((x + y)^2 — 2(x + y)(x — y) + (x — y)^2\). Первым шагом раскроем квадраты: \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) и \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). Теперь раскроем произведение: \(- 2(x + y)(x — y) = — 2(x^2 — y^2) = — 2x^2 + 2y^2\). Подставим все в исходное выражение: \(x^2 + 2xy + y^2 — 2x^2 + 2y^2 + x^2 — 2xy + y^2\). Теперь сложим подобные члены: \(x^2 — 2x^2 + x^2 = 0\), \(2xy — 2xy = 0\), а \(y^2 + 2y^2 + y^2 = 4y^2\). Таким образом, итог равен \(4y^2\), что и требовалось доказать.