ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 750 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде квадрата двучлена:

а) \((2a + 3b)^2 — 8b(2a + b);\)

б) \((3x — 2y)^2 + 5x(4y — x).\)

а) Раскроем \( (2a + 3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2 \).
Вычислим \( 8b(2a + b) = 16ab + 8b^2 \).
Вычитая, получаем \( 4a^2 + 12ab + 9b^2 — 16ab — 8b^2 = 4a^2 — 4ab + b^2 \).
Это квадрат разности \( (2a — b)^2 \).

б) Раскроем \( (3x — 2y)^2 = 9x^2 — 12xy + 4y^2 \).
Вычислим \( 5x(4y — x) = 20xy — 5x^2 \).
Сложим: \( 9x^2 — 12xy + 4y^2 + 20xy — 5x^2 = 4x^2 + 8xy + 4y^2 \).
Это квадрат суммы \( (2x + 2y)^2 \).

а) Сначала раскроем квадрат двучлена \( (2a + 3b)^2 \). По формуле квадрата суммы это будет \( (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 \), что равно \( 4a^{2} + 12ab + 9b^{2} \). Далее необходимо вычислить выражение \( 8b(2a + b) \), которое раскрывается как \( 16ab + 8b^{2} \). Теперь подставим эти значения в исходное выражение: \( (2a + 3b)^2 — 8b(2a + b) = 4a^{2} + 12ab + 9b^{2} — 16ab — 8b^{2} \).

Во втором шаге выполним упрощение: \( 12ab — 16ab = -4ab \), а \( 9b^{2} — 8b^{2} = b^{2} \). Таким образом, получаем выражение \( 4a^{2} — 4ab + b^{2} \). Это выражение можно представить в виде квадрата разности, так как оно совпадает с формулой \( (2a — b)^2 = 4a^{2} — 4ab + b^{2} \). Следовательно, исходное выражение равно \( (2a — b)^2 \).

б) Раскроем квадрат двучлена \( (3x — 2y)^2 \) по формуле квадрата разности: \( (3x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = 9x^{2} — 12xy + 4y^{2} \). Теперь рассмотрим второе слагаемое \( 5x(4y — x) \), которое раскрывается как \( 20xy — 5x^{2} \). Складываем оба результата: \( 9x^{2} — 12xy + 4y^{2} + 20xy — 5x^{2} \).

Объединим подобные члены: \( 9x^{2} — 5x^{2} = 4x^{2} \), а \( -12xy + 20xy = 8xy \). Таким образом, получаем выражение \( 4x^{2} + 8xy + 4y^{2} \). Это выражение соответствует квадрату суммы \( (2x + 2y)^2 \), так как \( (2x + 2y)^2 = 4x^{2} + 8xy + 4y^{2} \). Следовательно, исходное выражение равно \( (2x + 2y)^2 \).