ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 749 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности, представьте в виде многочлена выражение:

а) \((a + b)^4;\)

б) \((a — b)^4.\)

а) \((a+b)^4 = ((a+b)^2)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)^2\).
Раскроем квадрат:
\(= a^4 + 2 \cdot a^2 \cdot 2ab + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (2ab)^2 + 2 \cdot 2ab \cdot b^2 + b^4\)
\(= a^4 + 4a^3b + 2a^2b^2 + 4a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)
Сложим подобные:
\(= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\).

б) \((a-b)^4 = ((a-b)^2)^2 = (a^2 — 2ab + b^2)^2\).
Раскроем квадрат:
\(= a^4 + 2 \cdot a^2 \cdot (-2ab) + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (-2ab)^2 + 2 \cdot (-2ab) \cdot b^2 + b^4\)
\(= a^4 — 4a^3b + 2a^2b^2 + 4a^2b^2 — 4ab^3 + b^4\)
Сложим подобные:
\(= a^4 — 4a^3b + 6a^2b^2 — 4ab^3 + b^4\).

а) Возьмём выражение \((a+b)^4\). Чтобы упростить его, сначала представим как квадрат квадрата: \((a+b)^4 = ((a+b)^2)^2\). Это значит, что нам нужно сначала найти \((a+b)^2\), а затем возвести результат в квадрат. По формуле квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Теперь у нас есть выражение \((a^2 + 2ab + b^2)^2\), которое нужно раскрыть.

Раскроем квадрат трёхчлена, используя формулу \((x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz\). Здесь \(x = a^2\), \(y = 2ab\), \(z = b^2\). Тогда:
\( (a^2)^2 + (2ab)^2 + (b^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 2ab + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + 2 \cdot 2ab \cdot b^2 \).
Подставим степени:
\( a^{4} + 4a^{2}b^{2} + b^{4} + 4a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + 4ab^{3} \).

Теперь сложим подобные слагаемые: \(4a^{2}b^{2} + 2a^{2}b^{2} = 6a^{2}b^{2}\). В итоге получаем:
\( a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4} \).

б) Аналогично рассмотрим выражение \((a-b)^4\). Снова представим как квадрат квадрата: \((a-b)^4 = ((a-b)^2)^2\). Сначала раскроем квадрат разности: \((a-b)^2 = a^{2} — 2ab + b^{2}\). Теперь возводим это выражение в квадрат: \((a^{2} — 2ab + b^{2})^2\).

Применим формулу квадрата трёхчлена, где \(x = a^{2}\), \(y = -2ab\), \(z = b^{2}\):
\( (a^{2})^{2} + (-2ab)^{2} + (b^{2})^{2} + 2 \cdot a^{2} \cdot (-2ab) + 2 \cdot a^{2} \cdot b^{2} + 2 \cdot (-2ab) \cdot b^{2} \).
Подставим степени и коэффициенты:
\( a^{4} + 4a^{2}b^{2} + b^{4} — 4a^{3}b + 2a^{2}b^{2} — 4ab^{3} \).

Сложим подобные слагаемые \(4a^{2}b^{2} + 2a^{2}b^{2} = 6a^{2}b^{2}\), получаем:
\( a^{4} — 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} — 4ab^{3} + b^{4} \).

Таким образом, разложение для \((a+b)^4\) и \((a-b)^4\) отличается только знаками при членах с нечётными степенями \(b\), что соответствует свойствам суммы и разности.