ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 748 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выведите формулу куба разности

\((a — b)^3 = a^3 — 3a^2 b + 3ab^2 — b^3.\)

С помощью этой формулы представьте в виде многочлена:

а) \((x — y)^3;\)

б) \((3x — y)^3.\)

Формула куба разности: \((a — b)^3 = a^3 — 3a^2 b + 3ab^2 — b^3\).

а) Подставляем \(a = x\), \(b = y\):

\((x — y)^3 = x^3 — 3x^2 y + 3xy^2 — y^3\).

б) Подставляем \(a = 3x\), \(b = y\):

\((3x — y)^3 = (3x)^3 — 3(3x)^2 y + 3(3x) y^2 — y^3 = 27x^3 — 27x^2 y + 9xy^2 — y^3\).

Формула куба разности выражается как \((a — b)^3 = a^3 — 3a^2 b + 3ab^2 — b^3\). Это равенство получается из разложения произведения \((a — b)(a — b)(a — b)\). Сначала раскрываем скобки для первых двух множителей, получая квадрат разности: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Затем умножаем этот результат на третий множитель \((a — b)\), применяя распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания. В итоге, после упрощения, получаем указанное выражение с четырьмя слагаемыми.

а) Для выражения \((x — y)^3\) подставляем \(a = x\) и \(b = y\) в формулу куба разности. Это даёт: \((x — y)^3 = x^3 — 3x^2 y + 3xy^2 — y^3\). Здесь первое слагаемое — куб первого члена, второе — тройной произведение квадрата первого и второго члена с минусом, третье — тройное произведение первого и квадрата второго с плюсом, четвёртое — куб второго члена с минусом. Такое разложение позволяет представить куб разности в виде многочлена с отдельными степенями переменных.

б) Для выражения \((3x — y)^3\) подставляем \(a = 3x\), \(b = y\). Тогда по формуле имеем: \((3x — y)^3 = (3x)^3 — 3(3x)^2 y + 3(3x) y^2 — y^3\). Вычисляем степени: \( (3x)^3 = 27x^3 \), \( (3x)^2 = 9x^2 \). Подставляем и умножаем: \( -3 \cdot 9x^2 y = -27x^2 y \), \( 3 \cdot 3x \cdot y^2 = 9xy^2 \). В итоге получается многочлен: \(27x^3 — 27x^2 y + 9xy^2 — y^3\). Это разложение показывает, как куб суммы с коэффициентом преобразуется в сумму степеней с соответствующими множителями.