ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 747 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выведите формулу куба суммы

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3.\)

Пользуясь этой формулой, преобразуйте выражение:

а) \((x + y)^3;\)

б) \((x + 2y)^3.\)

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\) — формула куба суммы.

а) Подставляем \(a = x\), \(b = y\):

\((x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3\).

б) Подставляем \(a = x\), \(b = 2y\):

\((x + 2y)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2y + 3x \cdot (2y)^2 + (2y)^3\).

Вычисляем степени и умножения:

\((x + 2y)^3 = x^3 + 6x^2 y + 12x y^2 + 8y^3\).

Формула куба суммы выражается как \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\). Это значит, что если у нас есть сумма двух величин \(a\) и \(b\), возведённая в третью степень, то её можно разложить на сумму четырёх слагаемых. Первое слагаемое — это куб первого слагаемого \(a^3\), второе — трижды произведение квадрата первого на второе \(3a^2 b\), третье — трижды произведение первого на квадрат второго \(3ab^2\), и последнее — куб второго слагаемого \(b^3\).

Рассмотрим пример а), где нужно найти \((x + y)^3\). Здесь \(a = x\), \(b = y\). Подставляя в формулу, получаем \((x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3\). Каждое слагаемое отражает вклад степени и перемножения компонентов: \(x^3\) — куб \(x\), \(3x^2 y\) — трижды квадрат \(x\), умноженный на \(y\), \(3x y^2\) — трижды \(x\), умноженный на квадрат \(y\), и \(y^3\) — куб \(y\). Это разложение помогает упростить вычисления и понять структуру выражения.

В примере б) \((x + 2y)^3\) подставляем \(a = x\), \(b = 2y\). По формуле:

\((x + 2y)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2y + 3x \cdot (2y)^2 + (2y)^3\).

Выполняем вычисления степеней и умножений: \(3x^2 \cdot 2y = 6x^2 y\), \(3x \cdot (2y)^2 = 3x \cdot 4y^2 = 12x y^2\), \((2y)^3 = 8y^3\). Итоговое выражение:

\((x + 2y)^3 = x^3 + 6x^2 y + 12x y^2 + 8y^3\).

Такое разложение позволяет легко раскрыть скобки и упростить сложные выражения с возведением в степень.