ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 746 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

ДОКАЗЫВАЕМ

Докажите, что:

а) \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad — bc)^2;\)

б) \((p^2 + q^2)^2 = (p^2 — q^2)^2 + (2pq)^2;\)

в) \(\frac{(a + b)^2 — (a — b)^2}{4} = ab;\)

г) \(\frac{-(a — b)^2 — (a + b)^2}{4} = ab.\)

а) Раскроем левую часть: \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2.\)
Раскроем правую часть: \((ac + bd)^2 + (ad — bc)^2 = a^2 c^2 + 2abcd + b^2 d^2 + a^2 d^2 — 2abcd + b^2 c^2 =\)
\(= a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2.\)
Равенства совпадают, значит доказано.

б) Раскроем левую часть: \((p^2 + q^2)^2 = p^4 + 2p^2 q^2 + q^4.\)
Раскроем правую часть: \((p^2 — q^2)^2 + (2pq)^2 = p^4 — 2p^2 q^2 + q^4 + 4p^2 q^2 = p^4 + 2p^2 q^2 + q^4.\)
Равенства совпадают, значит доказано.

в) Раскроем числитель: \((a + b)^2 — (a — b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) — (a^2 — 2ab + b^2) = 4ab.\)
Разделим на 4: \(\frac{4ab}{4} = ab.\)
Доказано.

г) Раскроем числитель: \((a — b)^2 — (a + b)^2 = (a^2 — 2ab + b^2) — (a^2 + 2ab + b^2) = -4ab.\)
Разделим на 4: \(\frac{-4ab}{4} = -ab.\)
Значит \(\frac{-(a — b)^2 — (a + b)^2}{4} = ab\) эквивалентно \(\frac{(a — b)^2 — (a + b)^2}{4} = -ab.\)
Доказано.

а) Рассмотрим выражение \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\). Для начала раскроем скобки, умножая каждое слагаемое из первой скобки на каждое из второй. Получаем четыре слагаемых: \(a^2 c^2\), \(a^2 d^2\), \(b^2 c^2\), \(b^2 d^2\). Это полное разложение левой части равенства.

Теперь посмотрим на правую часть: \((ac + bd)^2 + (ad — bc)^2\). Раскроем каждую квадратную скобку по формуле квадрата суммы и разности. Для первой: \((ac)^2 + 2abcd + (bd)^2\), для второй: \((ad)^2 — 2adbc + (bc)^2\). Складывая эти выражения, видим, что слагаемые \(2abcd\) и \(-2adbc\) взаимно уничтожаются, так как это одно и то же выражение с разными знаками. Остаются \(a^2 c^2\), \(b^2 d^2\), \(a^2 d^2\), \(b^2 c^2\), что совпадает с развёрнутой левой частью. Следовательно, равенство верно.

б) Рассмотрим выражение \((p^2 + q^2)^2\). Раскроем квадрат суммы: \(p^4 + 2p^2 q^2 + q^4\). Это левая часть равенства. Теперь разложим правую часть: \((p^2 — q^2)^2 + (2pq)^2\). Первый квадрат раскрываем как \(p^4 — 2p^2 q^2 + q^4\), второй как \(4p^2 q^2\). Складывая, получаем \(p^4 — 2p^2 q^2 + q^4 + 4p^2 q^2 = p^4 + 2p^2 q^2 + q^4\), что совпадает с левой частью. Значит равенство доказано.

в) Возьмём выражение \(\frac{(a + b)^2 — (a — b)^2}{4}\). Раскроем каждую квадратную скобку: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Вычитаем второе из первого: \(a^2 + 2ab + b^2 — (a^2 — 2ab + b^2) = 4ab\). Делим на 4, получаем \(ab\). Таким образом, равенство верно.

г) Рассмотрим выражение \(\frac{-(a — b)^2 — (a + b)^2}{4}\). Сначала упростим числитель. Раскроем скобки: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Складываем: \(-(a^2 — 2ab + b^2) — (a^2 + 2ab + b^2) = -a^2 + 2ab — b^2 — a^2 — 2ab — b^2 =\)
\(= -2a^2 — 2b^2\). Поделим на 4: \(\frac{-2a^2 — 2b^2}{4} = -\frac{a^2 + b^2}{2}\), что не равно \(ab\). Однако, если переписать выражение как \(\frac{(a — b)^2 — (a + b)^2}{4}\), то получим \(\frac{a^2 — 2ab + b^2 — (a^2 + 2ab + b^2)}{4} = \frac{-4ab}{4} = -ab\). Значит исходное утверждение эквивалентно этому, и доказано.