ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 745 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \((m^2 + n — 4)^2 — (m^2 + n — 1)(m^2 + n — 8);\)

б) \((2x^2 + x — 5)^2 — (2x^2 + x)(2x^2 + x — 1) + 9(2x^2 + x).\)

Подсказка. Сделайте удобную замену.

а) Обозначим \( x = m^2 + n \). Тогда выражение принимает вид \( (x — 4)^2 — (x — 1)(x — 8) \).

Раскроем скобки: \( (x — 4)^2 = x^2 — 8x + 16 \), \( (x — 1)(x — 8) = x^2 — 9x + 8 \).

Вычислим разность: \( x^2 — 8x + 16 — (x^2 — 9x + 8) = x + 8 \).

Ответ: \( m^2 + n + 8 \).

б) Обозначим \( y = 2x^2 + x \). Тогда выражение становится \( (y — 5)^2 — y(y — 1) + 9y \).

Раскроем скобки: \( (y — 5)^2 = y^2 — 10y + 25 \), \( y(y — 1) = y^2 — y \).

Подставим и упростим: \( y^2 — 10y + 25 — (y^2 — y) + 9y = 25 \).

Ответ: \( 25 \).

а) Для начала обозначим \( x = m^2 + n \), чтобы упростить выражение и сделать его более удобным для вычислений. Подставляя это обозначение, исходное выражение \( (m^2 + n — 4)^2 — (m^2 + n — 1)(m^2 + n — 8) \) перепишется как \( (x — 4)^2 — (x — 1)(x — 8) \). Это позволяет работать с одной переменной \( x \) вместо сложного выражения.

Далее раскроем скобки. Квадрат разности \( (x — 4)^2 \) равен \( x^2 — 8x + 16 \), а произведение двух разностей \( (x — 1)(x — 8) \) раскрывается как \( x^2 — 8x — x + 8 = x^2 — 9x + 8 \). Теперь подставим эти выражения обратно в исходное: \( x^2 — 8x + 16 — (x^2 — 9x + 8) \).

При выполнении вычитания важно правильно распределить знак минус перед скобками. Получаем: \( x^2 — 8x + 16 — x^2 + 9x — 8 \). Теперь объединим подобные члены. \( x^2 — x^2 = 0 \), а \( -8x + 9x = x \). Числовые члены \( 16 — 8 = 8 \). В итоге выражение упрощается до \( x + 8 \). Подставляя обратно \( x = m^2 + n \), получаем окончательный ответ: \( m^2 + n + 8 \).

б) Обозначим \( y = 2x^2 + x \), чтобы упростить исходное выражение \( (2x^2 + x — 5)^2 — (2x^2 + x)(2x^2 + x — 1) + 9(2x^2 + x) \) и сделать вычисления более удобными. Тогда выражение перепишется как \( (y — 5)^2 — y(y — 1) + 9y \).

Раскроем скобки. Квадрат разности \( (y — 5)^2 \) равен \( y^2 — 10y + 25 \), а произведение \( y(y — 1) \) раскрывается в \( y^2 — y \). Подставим эти выражения обратно в исходное: \( y^2 — 10y + 25 — (y^2 — y) + 9y \).

Выполним вычитание с правильным распределением знаков: \( y^2 — 10y + 25 — y^2 + y + 9y \). Теперь объединим подобные члены. \( y^2 — y^2 = 0 \), а \( -10y + y + 9y = 0 \). Числовой член остается \( 25 \). Таким образом, выражение упрощается до \( 25 \).

Ответ: \( 25 \).