ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 744 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \((y + 2)^2 — 2(y + 1)^2;\)

б) \(4(2 — x)^2 + 5(x — 5)^2;\)

в) \((3 — 5x)^2 — (3x — 2)(5x + 1);\)

г) \(6(a — 2)(a — 3) — 4(a — 3)^2.\)

а) Раскроем скобки: \((y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4\), \((y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1\). Подставим: \(y^2 + 4y + 4 — 2(y^2 + 2y + 1) = y^2 + 4y + 4 — 2y^2 — 4y — 2 = -y^2 + 2\).

б) Раскроем скобки: \((2 — x)^2 = 4 — 4x + x^2\), \((x — 5)^2 = x^2 — 10x + 25\). Подставим: \(4(4 — 4x + x^2) + 5(x^2 — 10x + 25) = 16 — 16x + 4x^2 + 5x^2 — 50x + 125 =\)
\(= 9x^2 — 66x + 141\).

в) Раскроем скобки: \((3 — 5x)^2 = 9 — 30x + 25x^2\), \((3x — 2)(5x + 1) = 15x^2 — 7x — 2\). Подставим: \(9 — 30x + 25x^2 — (15x^2 — 7x — 2) = 9 — 30x + 25x^2 — 15x^2 + 7x + 2 =\)
\(= 10x^2 — 23x + 11\).

г) Раскроем скобки: \((a — 2)(a — 3) = a^2 — 5a + 6\), \((a — 3)^2 = a^2 — 6a + 9\). Подставим: \(6(a^2 — 5a + 6) — 4(a^2 — 6a + 9) = 6a^2 — 30a + 36 — 4a^2 + 24a — 36 =\)
\(= 2a^2 — 6a\).

а) Начнём с раскрытия квадратов. Выражение \((y + 2)^2\) раскрывается по формуле квадрата суммы: \(y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2 + 4y + 4\). Аналогично, \((y + 1)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = y^2 + 2y + 1\). Теперь подставим эти выражения в исходное: \((y + 2)^2 — 2(y + 1)^2 = (y^2 + 4y + 4) — 2(y^2 + 2y + 1)\).

Далее раскрываем скобки с коэффициентом 2: \(2(y^2 + 2y + 1) = 2y^2 + 4y + 2\). Таким образом, выражение становится \(y^2 + 4y + 4 — 2y^2 — 4y — 2\). Теперь соберём подобные члены: \(y^2 — 2y^2 = -y^2\), \(4y — 4y = 0\), \(4 — 2 = 2\). В итоге получаем \(-y^2 + 2\).

б) Для начала раскроем квадраты в каждом слагаемом. Квадрат разности \((2 — x)^2\) равен \(2^2 — 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 — 4x + x^2\). Квадрат разности \((x — 5)^2\) равен \(x^2 — 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 — 10x + 25\). Подставим эти выражения в исходное: \(4(4 — 4x + x^2) + 5(x^2 — 10x + 25)\).

Теперь умножим каждую скобку на соответствующий коэффициент: \(4 \cdot 4 = 16\), \(4 \cdot (-4x) = -16x\), \(4 \cdot x^2 = 4x^2\); \(5 \cdot x^2 = 5x^2\), \(5 \cdot (-10x) = -50x\), \(5 \cdot 25 = 125\). Сложим все полученные члены: \(16 — 16x + 4x^2 + 5x^2 — 50x + 125\). Соберём подобные: \(4x^2 + 5x^2 = 9x^2\), \(-16x — 50x = -66x\), \(16 + 125 = 141\). Итог: \(9x^2 — 66x + 141\).

в) Сначала раскроем квадрат \((3 — 5x)^2\) по формуле квадрата разности: \(3^2 — 2 \cdot 3 \cdot 5x + (5x)^2 = 9 — 30x + 25x^2\). Далее раскроем произведение \((3x — 2)(5x + 1)\) умножением каждого слагаемого: \(3x \cdot 5x = 15x^2\), \(3x \cdot 1 = 3x\), \(-2 \cdot 5x = -10x\), \(-2 \cdot 1 = -2\). Складываем: \(15x^2 + 3x — 10x — 2 = 15x^2 — 7x — 2\).

Подставляем в выражение: \(9 — 30x + 25x^2 — (15x^2 — 7x — 2) = 9 — 30x + 25x^2 — 15x^2 + 7x + 2\). Собираем подобные: \(25x^2 — 15x^2 = 10x^2\), \(-30x + 7x = -23x\), \(9 + 2 = 11\). Результат: \(10x^2 — 23x + 11\).

г) Раскроем произведение \((a — 2)(a — 3)\) по формуле: \(a \cdot a — a \cdot 3 — 2 \cdot a + 2 \cdot 3 = a^2 — 3a — 2a + 6 = a^2 — 5a + 6\). Квадрат \((a — 3)^2 = a^2 — 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 — 6a + 9\). Подставим в выражение: \(6(a^2 — 5a + 6) — 4(a^2 — 6a + 9)\).

Раскроем скобки с коэффициентами: \(6a^2 — 30a + 36 — 4a^2 + 24a — 36\). Собираем подобные: \(6a^2 — 4a^2 = 2a^2\), \(-30a + 24a = -6a\), \(36 — 36 = 0\). Итог: \(2a^2 — 6a\).