ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 738 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) \((a + b)^2 — 2ab = a^2 + b^2;\)

б) \(a^2 + b^2 = (a — b)^2 + 2ab;\)

в) \(a(a + b) + b(a + b) = (a + b)^2;\)

г) \((a — b)^2 = a(a — b) — b(a — b).\)

а) Раскроем скобки: \((a + b)^2 — 2ab = a^2 + 2ab + b^2 — 2ab = a^2 + b^2\). Верно.

б) Раскроем правую часть: \((a — b)^2 + 2ab = a^2 — 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2\). Верно.

в) Раскроем левую часть: \(a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Право: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Верно.

г) Раскроем правую часть: \(a(a — b) — b(a — b) = a^2 — ab — ab + b^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Лево: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Верно.

а) Начнем с раскрытия скобок в выражении \((a + b)^2 — 2ab\). По формуле квадрата суммы имеем \(a^2 + 2ab + b^2\). Теперь вычитаем \(2ab\), что дает \(a^2 + 2ab + b^2 — 2ab\). Сложение и вычитание членов \(2ab\) и \(-2ab\) взаимно уничтожаются, остаётся \(a^2 + b^2\). Таким образом, выражение \((a + b)^2 — 2ab\) равно \(a^2 + b^2\), что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим равенство \(a^2 + b^2 = (a — b)^2 + 2ab\). Раскроем квадрат разности: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Подставим это в правую часть: \(a^2 — 2ab + b^2 + 2ab\). Теперь сложим: \(-2ab + 2ab = 0\), поэтому остаётся \(a^2 + b^2\). Таким образом, левая часть равна правой, что подтверждает верность равенства.

в) Перейдем к выражению \(a(a + b) + b(a + b)\). Раскроем скобки: \(a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2\). Сложим одинаковые слагаемые \(ab + ab = 2ab\), получаем \(a^2 + 2ab + b^2\). Теперь рассмотрим правую часть: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Значения совпадают, следовательно равенство верно.

г) Рассмотрим равенство \((a — b)^2 = a(a — b) — b(a — b)\). Раскроем левую часть: \(a^2 — 2ab + b^2\). Правую часть раскроем по дистрибутивному закону: \(a \cdot a — a \cdot b — b \cdot a + b \cdot b = a^2 — ab — ab + b^2\). Сложим одинаковые члены: \(-ab — ab = -2ab\), получаем \(a^2 — 2ab + b^2\), что совпадает с левой частью. Значит равенство доказано.