ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 730 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) \((a — b)^2 = (b — a)^2;\)

б) \((x + y)^2 = (-x — y)^2.\)

а) Раскроем скобки:
\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\)
\((b — a)^2 = b^2 — 2ba + a^2 = a^2 — 2ab + b^2\)
Значит, \((a — b)^2 = (b — a)^2\).

б) Раскроем скобки:
\((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
\((-x — y)^2 = (-x)^2 — 2 \cdot (-x) \cdot y + y^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
Значит, \((x + y)^2 = (-x — y)^2\).

а) Рассмотрим выражение \((a — b)^2\). По формуле квадрата разности оно раскрывается как \(a^2 — 2ab + b^2\). Здесь \(a^2\) и \(b^2\) — это квадраты чисел \(a\) и \(b\), а член \(-2ab\) отражает удвоенное произведение \(a\) и \(b\) с отрицательным знаком. Аналогично раскроем скобки в выражении \((b — a)^2\). По той же формуле получаем \(b^2 — 2ba + a^2\). Поскольку умножение коммутативно, то \(ba = ab\), следовательно, выражение можно переписать как \(b^2 — 2ab + a^2\).

Во втором выражении члены \(b^2\) и \(a^2\) просто поменялись местами, но так как сложение коммутативно, порядок слагаемых не влияет на сумму. Таким образом, \(a^2 — 2ab + b^2\) и \(b^2 — 2ab + a^2\) — это одно и то же выражение. Значит, \((a — b)^2 = (b — a)^2\), что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим выражение \((x + y)^2\). По формуле квадрата суммы оно раскрывается как \(x^2 + 2xy + y^2\). Здесь \(x^2\) и \(y^2\) — квадраты чисел \(x\) и \(y\), а \(2xy\) — удвоенное произведение \(x\) и \(y\). Теперь рассмотрим выражение \((-x — y)^2\). Его можно представить как квадрат суммы \((-x) + (-y)\). Применяя формулу квадрата суммы, получаем \((-x)^2 + 2 \cdot (-x) \cdot (-y) + (-y)^2\).

Квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного, то есть \((-x)^2 = x^2\) и \((-y)^2 = y^2\). Произведение двух отрицательных чисел положительно, значит \(2 \cdot (-x) \cdot (-y) = 2xy\). В итоге получаем \(x^2 + 2xy + y^2\), что совпадает с выражением для \((x + y)^2\). Следовательно, \((x + y)^2 = (-x — y)^2\), что и требовалось доказать.