ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 725 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ
а) квадрат суммы \(x\) и \(y\);
б) сумму квадратов \(m\) и \(n\);
в) квадрат разности \(m\) и 3;
г) разность квадратов \(a\) и \(c\);
Запишите следующие выражения:
д) куб суммы \(y\) и \(z\);
е) квадрат суммы \(a\), \(b\) и \(c\);
ж) куб суммы \(m\), \(n\) и 1;
з) разность кубов \(x\) и \(z\).

а) Раскроем квадрат суммы по формуле: \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\).

б) Сумма квадратов уже записана: \(m^2 + n^2\).

в) Раскроем квадрат разности: \((m — 3)^2 = m^2 — 2 \cdot m \cdot 3 + 3^2 = m^2 — 6m + 9\).

г) Разность квадратов раскроется как: \(a^2 — c^2 = (a — c)(a + c)\).

д) Куб суммы раскроется по формуле: \((y + z)^3 = y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3\).

е) Квадрат суммы трёх слагаемых: \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\).

ж) Куб суммы трёх слагаемых: \((m + n + 1)^3 =\)
\(= m^3 + n^3 + 1 + 3m^2n + 3mn^2 + 3m^2 + 3n^2 + 6mn + 3m + 3n\).

з) Разность кубов раскроется по формуле: \(x^3 — z^3 = (x — z)(x^2 + xz + z^2)\).

а) Квадрат суммы двух переменных \(x\) и \(y\) раскрывается по формуле \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Здесь \(a = x\), \(b = y\), значит, \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\). Это выражение показывает, что квадрат суммы равен сумме квадратов слагаемых и удвоенному произведению этих слагаемых. Такой подход позволяет упростить выражения и использовать их в дальнейших вычислениях.

б) Сумма квадратов переменных \(m\) и \(n\) записывается просто как \(m^2 + n^2\). Здесь нет необходимости раскрывать скобки или применять формулы сокращённого умножения, так как это уже конечное выражение, представляющее сумму двух квадратов. Оно часто встречается в алгебре и геометрии, например, при вычислении расстояния между точками.

в) Квадрат разности двух чисел \(m\) и 3 раскрывается по формуле \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Подставляя \(a = m\), \(b = 3\), получаем \((m — 3)^2 = m^2 — 2 \cdot m \cdot 3 + 3^2 = m^2 — 6m + 9\). Здесь важно учитывать знак минус перед вторым слагаемым, так как он влияет на знак всей части выражения. Раскрытие позволяет представить выражение в виде многочлена для удобства дальнейших операций.

г) Разность квадратов \(a^2 — c^2\) можно представить в виде произведения двух разностей по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь \(b = c\), значит, \(a^2 — c^2 = (a — c)(a + c)\). Такая факторизация полезна для упрощения выражений и решения уравнений, где встречаются разности квадратов.

д) Куб суммы двух переменных \(y\) и \(z\) раскрывается по формуле \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Подставляя \(a = y\), \(b = z\), получаем \((y + z)^3 = y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3\). Здесь каждый член отражает степень и комбинацию переменных, что важно для анализа и упрощения кубических выражений.

е) Квадрат суммы трёх переменных \(a\), \(b\) и \(c\) раскрывается по формуле \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\). Это выражение включает квадраты каждого слагаемого и удвоенные произведения всех пар. Такая формула позволяет преобразовывать сложные выражения в более удобный вид для вычислений и доказательств.

ж) Куб суммы трёх слагаемых \(m\), \(n\) и 1 раскрывается сложнее. Формула для куба суммы трёх переменных: \((a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 +\)
\(+ 6abc\). Подставляя \(a = m\), \(b = n\), \(c = 1\), получаем:

\((m + n + 1)^3 = m^3 + n^3 + 1 + 3m^2n + 3m^2 \cdot 1 + 3mn^2 + 3n^2 \cdot 1 +\)
\(+ 3m \cdot 1^2 + 3n \cdot 1^2 + 6mn \cdot 1\).

Упрощая, это:

\(m^3 + n^3 + 1 + 3m^2n + 3m^2 + 3mn^2 + 3n^2 + 3m + 3n + 6mn\).

з) Разность кубов \(x^3 — z^3\) раскроется по формуле \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Здесь \(a = x\), \(b = z\), значит:

\(x^3 — z^3 = (x — z)(x^2 + xz + z^2)\).

Это разложение позволяет упростить выражение и использовать его в решении уравнений и других алгебраических задачах.