ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 724 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте каждое произведение в виде многочлена:

\((x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 4);\)

\((x — 1)(x — 2)(x — 3)(4 — x);\)

\((1 — x)(x — 2)(x — 3)(4 — x);\)

\(- (x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 4).\)

\((x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = (x^2 — 3x + 2)(x^2 — 7x + 12) =\)
\(= x^4 — 10x^3 + 35x^2 — 50x + 24\)

\((x-1)(x-2)(x-3)(4-x) = (x-1)(x-2)(x-3)(-x + 4) =\)
\(= -(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = -x^4 + 10x^3 — 35x^2 + 50x — 24\)

\((1-x)(x-2)(x-3)(4-x) = -(x-1)(x-2)(x-3)(4-x) =\)
\(= x^4 — 10x^3 + 35x^2 — 50x + 24\)

\(- (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = -x^4 + 10x^3 — 35x^2 + 50x — 24\)

1) Для начала раскроем произведение первых двух скобок: \((x-1)(x-2)\). Умножая, получаем \(x \cdot x = x^{4}\), \(x \cdot (-2) = -2x\), \(-1 \cdot x = -x\), \(-1 \cdot (-2) = 2\). Сложив подобные, получаем \(x^{2} — 3x + 2\). Аналогично раскроем \((x-3)(x-4)\), что даёт \(x^{2} — 7x + 12\). Следующий шаг — умножение двух полученных многочленов: \((x^{2} — 3x + 2)(x^{2} — 7x + 12)\). При раскрытии скобок перемножаем каждое слагаемое первого многочлена на каждое слагаемое второго, что даёт \(x^{4} — 7x^{3} + 12x^{2} — 3x^{3} + 21x^{2} — 36x + 2x^{2} — 14x + 24\). Сложив подобные члены, получаем итоговый многочлен \(x^{4} — 10x^{3} + 35x^{2} — 50x + 24\).

2) Рассмотрим произведение \((x-1)(x-2)(x-3)(4-x)\). Сначала умножим первые три множителя. Раскрывая скобки, получаем \((x^{2} — 3x + 2)(x-3)\), что равно \(x^{3} — 6x^{2} + 11x — 6\). Теперь умножим результат на \((4-x)\). Раскрывая, получаем произведение \(x^{3} \cdot 4 — x^{3} \cdot x — 6x^{2} \cdot 4 + 6x^{2} \cdot x + 11x \cdot 4 — 11x \cdot x — 6 \cdot 4 + 6 \cdot x\). После упрощения складываем подобные члены, что даёт \(-x^{4} + 10x^{3} — 35x^{2} + 50x — 24\).

3) В выражении \((1-x)(x-2)(x-3)(4-x)\) заметим, что \(1-x = -(x-1)\). Значит, это выражение равно \(-(x-1)(x-2)(x-3)(4-x)\). Из пункта (b) известно, что \((x-1)(x-2)(x-3)(4-x) = -x^{4} + 10x^{3} — 35x^{2} + 50x — 24\). Умножая на минус, получаем \(x^{4} — 10x^{3} + 35x^{2} — 50x + 24\).

4) Наконец, рассмотрим \(- (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\). По пункту (a) известно, что \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^{4} — 10x^{3} + 35x^{2} — 50x + 24\). Умножая на минус, получаем \(-x^{4} + 10x^{3} — 35x^{2} + 50x — 24\).