ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 721 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \(5\left(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7\right) + 12 — 7\left(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7\right) — 4;\)

б) \(1 — 2\left(\frac{x}{5} — \frac{x}{3} — 5\right) = 14 + \left(\frac{x}{5} — \frac{x}{3} — 6\right);\)

в) \(7(2(5x + 1) — 3) — 15 = 4(2(5x + 1) — 3);\)

г) \(4(3(2x — 1) + 7) — 4 = 3(3(2x — 1) + 6).\)

Подсказка. Сделайте замену; например, в пункте а: \(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7 = y\); выполнив соответствующую подстановку, решите уравнение.

а) Обозначим \( y = \frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7 \). Тогда уравнение: \( 5y + 12 = 7y — 4 \).
Решаем: \( 5y — 7y = -4 — 12 \Rightarrow -2y = -16 \Rightarrow y = 8 \).
Подставляем: \( \frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7 = 8 \Rightarrow \frac{2x}{6} + \frac{x}{6} = 1 \Rightarrow \frac{3x}{6} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow x = 2 \).

б) Обозначим \( y = \frac{x}{5} — \frac{x}{3} \). Тогда уравнение: \( 1 — 2(y — 5) = 14 + (y — 6) \).
Решаем: \( 1 — 2y + 10 = 14 + y — 6 \Rightarrow 11 — 2y = 8 + y \Rightarrow 3 = 3y \Rightarrow y = 1 \).
Подставляем: \( \frac{x}{5} — \frac{x}{3} = 1 \Rightarrow \frac{3x}{15} — \frac{5x}{15} = 1 \Rightarrow \frac{-2x}{15} = 1 \Rightarrow -2x = 15 \Rightarrow x = -7.5 \).

в) Обозначим \( y = 2(5x + 1) — 3 \). Тогда уравнение: \( 7y — 15 = 4y \).
Решаем: \( 7y — 4y = 15 \Rightarrow 3y = 15 \Rightarrow y = 5 \).
Подставляем: \( 2(5x + 1) — 3 = 5 \Rightarrow 10x + 2 — 3 = 5 \Rightarrow 10x — 1 = 5 \Rightarrow 10x = 6 \Rightarrow x = 0.6 \).

г) Обозначим \( y = 3(2x — 1) \). Тогда уравнение: \( 4(y + 7) — 4 = 3(y + 6) \).
Решаем: \( 4y + 28 — 4 = 3y + 18 \Rightarrow 4y + 24 = 3y + 18 \Rightarrow y = -6 \).
Подставляем: \( 3(2x — 1) = -6 \Rightarrow 6x — 3 = -6 \Rightarrow 6x = -3 \Rightarrow x = -0.5 \).

а) В уравнении \(5\left(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7\right) + 12 = 7\left(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7\right) — 4\) сначала удобно ввести замену, обозначив выражение в скобках через \(y\), то есть \(y = \frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7\). Это упрощает уравнение до вида \(5y + 12 = 7y — 4\), где теперь мы имеем линейное уравнение с одной переменной \(y\). Переносим все члены с \(y\) в одну сторону, а свободные числа — в другую, получаем \(5y — 7y = -4 — 12\), что упрощается до \(-2y = -16\). Делим обе части на \(-2\) и находим \(y = 8\).

Теперь возвращаемся к исходному выражению для \(y\) и подставляем найденное значение: \(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7 = 8\). Чтобы решить это уравнение, приводим дроби к общему знаменателю. Знаменатель 6 подходит для обеих дробей, поэтому переписываем \(\frac{x}{3}\) как \(\frac{2x}{6}\). Тогда уравнение становится \(\frac{2x}{6} + \frac{x}{6} + 7 = 8\). Складываем дроби: \(\frac{3x}{6} + 7 = 8\). Вычитаем 7 из обеих частей: \(\frac{3x}{6} = 1\). Упрощаем дробь: \(\frac{x}{2} = 1\). Умножаем обе части на 2 и находим \(x = 2\).

Таким образом, мы получили значение \(x\), которое удовлетворяет исходному уравнению. Использование замены позволило упростить сложное выражение и решить уравнение поэтапно, что облегчает вычисления и уменьшает вероятность ошибки.

б) В уравнении \(1 — 2\left(\frac{x}{5} — \frac{x}{3} — 5\right) = 14 + \left(\frac{x}{5} — \frac{x}{3} — 6\right)\) также удобно ввести замену, обозначив \(y = \frac{x}{5} — \frac{x}{3}\). Тогда уравнение преобразуется в \(1 — 2(y — 5) = 14 + (y — 6)\). Раскрываем скобки: \(1 — 2y + 10 = 14 + y — 6\), что упрощается до \(11 — 2y = 8 + y\). Переносим все члены с переменной в одну сторону, а числа — в другую: \(11 — 8 = y + 2y\), то есть \(3 = 3y\), откуда \(y = 1\).

Подставляем обратно: \(\frac{x}{5} — \frac{x}{3} = 1\). Приводим дроби к общему знаменателю, которым является 15. Переписываем: \(\frac{3x}{15} — \frac{5x}{15} = 1\), что даёт \(\frac{-2x}{15} = 1\). Умножаем обе части на 15: \(-2x = 15\), делим на \(-2\) и получаем \(x = -\frac{15}{2} = -7.5\).

Этот метод замены позволяет упростить алгебраические выражения и решать уравнения по частям, что значительно облегчает вычисления и снижает вероятность ошибок.

в) В уравнении \(7(2(5x + 1) — 3) — 15 = 4(2(5x + 1) — 3)\) вводим замену \(y = 2(5x + 1) — 3\), что упрощает уравнение до вида \(7y — 15 = 4y\). Переносим все с \(y\) в одну сторону: \(7y — 4y = 15\), или \(3y = 15\). Делим обе части на 3, получаем \(y = 5\).

Подставляем обратно: \(2(5x + 1) — 3 = 5\). Раскрываем скобки: \(10x + 2 — 3 = 5\), что упрощается до \(10x — 1 = 5\). Прибавляем 1 к обеим частям: \(10x = 6\), делим на 10 и получаем \(x = 0.6\).

Такой подход с заменой помогает разбить сложное выражение на более простые части, что значительно облегчает решение уравнения.

г) В уравнении \(4(3(2x — 1) + 7) — 4 = 3(3(2x — 1) + 6)\) обозначим \(y = 3(2x — 1)\). Тогда уравнение становится \(4(y + 7) — 4 = 3(y + 6)\). Раскроем скобки: \(4y + 28 — 4 = 3y + 18\), что упрощается до \(4y + 24 = 3y + 18\). Переносим все с \(y\) в одну сторону: \(4y — 3y = 18 — 24\), или \(y = -6\).

Подставляем обратно: \(3(2x — 1) = -6\). Раскрываем скобки: \(6x — 3 = -6\). Прибавляем 3 к обеим частям: \(6x = -3\), делим на 6 и получаем \(x = -0.5\).

Использование замены позволяет упростить сложные выражения и сосредоточиться на решении уравнения с одной переменной, что делает процесс более понятным и удобным.