ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 720 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( (x^2 — 3x + 1)(x^2 — 3x + 5) — (x^2 — 3x + 2)(x^2 — 3x — 3) \);

б) \( (n — 1)(n — 6)(n^2 — 7n — 3) — (n — 3)(n — 4)(n^2 — 7n + 1) \).

Подсказка. Сделайте замену, например, в пункте а: \( x^2 — 3x = y \).

а) Дано: \[ (x^2 — 3x + 1)(x^2 — 3x + 5) — (x^2 — 3x + 2)(x^2 — 3x — 3)
\]

Введём замену:
\[
y = x^2 — 3x
\]

Тогда выражение примет вид:
\[
(y + 1)(y + 5) — (y + 2)(y — 3)
\]

Раскроем скобки:
\[
y^2 + 5y + y + 5 — (y^2 — 3y + 2y — 6) = y^2 + 6y + 5 — y^2 + y + 6
\]

Упростим:
\[
7y + 11
\]

Подставим обратно \( y = x^2 — 3x \):
\[
7(x^2 — 3x) + 11 = 7x^2 — 21x + 11
\]

б) Дано:  \[ (n-1)(n-6)(n^2 — 7n — 3) — (n-3)(n-4)(n^2 — 7n + 1)
\]

Введём замену:
\[
y = n^2 — 7n
\]

Тогда выражение перепишется как:
\[
(n-1)(n-6)(y — 3) — (n-3)(n-4)(y + 1)
\]

Раскроем скобки:
\[
(n^2 — 6n — n + 6)(y — 3) — (n^2 — 4n — 3n + 12)(y + 1)
\]

Упростим множители:
\[
(n^2 — 7n + 6)(y — 3) — (n^2 — 7n + 12)(y + 1)
\]

Раскроем произведения:
\[
n^2 y — 3 n^2 — 7 n y + 21 n + 6 y — 18 — (n^2 y + n^2 — 7 n y — 7 n + 12 y + 12)
\]

Раскроем скобки с минусом:
\[
n^2 y — 3 n^2 — 7 n y + 21 n + 6 y — 18 — n^2 y — n^2 + 7 n y + 7 n — 12 y — 12
\]

Сократим и соберём подобные члены:
\[
-4 n^2 + 28 n — 6 y — 30
\]

Подставим обратно \( y = n^2 — 7n \):
\[
-4 n^2 + 28 n — 6 (n^2 — 7 n) — 30 = -4 n^2 + 28 n — 6 n^2 + 42 n — 30
\]

Соберём подобные члены:
\[
-10 n^2 + 70 n — 30
\]

а) Рассмотрим выражение:
\[
(x^2 — 3x + 1)(x^2 — 3x + 5) — (x^2 — 3x + 2)(x^2 — 3x — 3)
\]

Для удобства сделаем замену:
\[
y = x^2 — 3x
\]

Тогда выражение примет вид:
\[
(y + 1)(y + 5) — (y + 2)(y — 3)
\]

Раскроем скобки в каждом произведении:
\[
(y + 1)(y + 5) = y^2 + 5y + y + 5 = y^2 + 6y + 5
\] \[
(y + 2)(y — 3) = y^2 — 3y + 2y — 6 = y^2 — y — 6
\]

Вычислим разность:
\[
(y^2 + 6y + 5) — (y^2 — y — 6) = y^2 + 6y + 5 — y^2 + y + 6
\]

Сократим и приведём подобные члены:
\[
y^2 — y^2 = 0, \quad 6y + y = 7y, \quad 5 + 6 = 11
\]

Итог:
\[
7y + 11
\]

Подставим обратно \( y = x^2 — 3x \):
\[
7(x^2 — 3x) + 11 = 7x^2 — 21x + 11
\]

б) Рассмотрим выражение:
\[
(n-1)(n-6)(n^2 — 7n — 3) — (n-3)(n-4)(n^2 — 7n + 1)
\]

Введём замену:
\[
y = n^2 — 7n
\]

Тогда выражение перепишется как:
\[
(n-1)(n-6)(y — 3) — (n-3)(n-4)(y + 1)
\]

Раскроем скобки в первых двух множителях:
\[
(n-1)(n-6) = n^2 — 7n + 6
\] \[
(n-3)(n-4) = n^2 — 7n + 12
\]

Подставим обратно:
\[
(n^2 — 7n + 6)(y — 3) — (n^2 — 7n + 12)(y + 1)
\]

Раскроем скобки в каждом произведении:
\[
(n^2 — 7n + 6)(y — 3) = n^2 y — 3 n^2 — 7 n y + 21 n + 6 y — 18
\] \[
(n^2 — 7n + 12)(y + 1) = n^2 y + n^2 — 7 n y — 7 n + 12 y + 12
\]

Запишем выражение целиком:
\[
n^2 y — 3 n^2 — 7 n y + 21 n + 6 y — 18 — (n^2 y + n^2 — 7 n y — 7 n + 12 y + 12)
\]

Раскроем минус и соберём подобные члены:
\[
n^2 y — 3 n^2 — 7 n y + 21 n + 6 y — 18 — n^2 y — n^2 + 7 n y + 7 n — 12 y — 12
\]

Сократим и упростим:
\[
-3 n^2 — n^2 + 21 n + 7 n + 6 y — 12 y — 18 — 12 = -4 n^2 + 28 n — 6 y — 30
\]

Подставим обратно \( y = n^2 — 7 n \):
\[
-4 n^2 + 28 n — 6 (n^2 — 7 n) — 30
\]

Раскроем скобки:
\[
-4 n^2 + 28 n — 6 n^2 + 42 n — 30
\]

Итог: \[
-10 n^2 + 70 n — 30
\]