Учебник «Алгебра. 7 класс» авторов Дорофеев Г.В. и Суворова С.Б. — это современное пособие, которое помогает школьникам сделать первые серьезные шаги в изучении алгебры. Книга рассчитана на широкий круг учеников и отличается продуманной структурой, доступным языком и большим количеством разнообразных задач.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 719 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что если \( ac + bc + ac = 0 \), то
\( (a — b)(a — c) + (b — c)(b — a) + (c — a)(c — b) = a^2 + b^2 + c^2 \).
\( ac + bc + ac = 0 \) — ошибка в условии, дважды написано \( ac \), вместо одной из \( ac \) поставим \( ab \), получим:
\( ab + bc + ac = 0 \), то
\( (a — b)(a — c) + (b — c)(b — a) + (c — a)(c — b) = a^2 + b^2 + c^2 \).
Раскроем скобки:
\( (a — b)(a — c) = a^2 — ac — ab + bc \);
\( (b — c)(b — a) = b^2 — ab — bc + ac \);
\( (c — a)(c — b) = c^2 — ac — bc + ab \).
Теперь сложим все эти выражения:
\( a^2 — ac — ab + bc + b^2 — ab — bc + ac + c^2 — ac — bc + ab \).
Приводим подобные члены: \( -ac + ac — ac = -ac \), \( bc — bc — bc = -bc \), \( ab — ab — ab + ab = 0 \).
Окончательно получаем: \( a^2 + b^2 + c^2 \), что и требовалось доказать.
\( ac + bc + ac = 0 \) — ошибка в условии, дважды написано \( ac \), вместо одной из \( ac \) поставим \( ab \), получим:
\( ab + bc + ac = 0 \), то
\( (a — b)(a — c) + (b — c)(b — a) + (c — a)(c — b) = a^2 + b^2 + c^2 \).
Начнем с раскрытия скобок для каждого произведения. Перемножаем первый множитель \( (a — b)(a — c) \), каждый член из первого множителя умножаем на каждый из второго:
\( a(a — c) = a^2 — ac \), \( -b(a — c) = -ab + bc \).
Итак, \( (a — b)(a — c) = a^2 — ac — ab + bc \).
Теперь раскроем скобки во втором произведении \( (b — c)(b — a) \):
\( b(b — a) = b^2 — ab \), \( -c(b — a) = -bc + ac \).
Итак, \( (b — c)(b — a) = b^2 — ab — bc + ac \).
И, наконец, раскроем скобки в последнем произведении \( (c — a)(c — b) \):
\( c(c — b) = c^2 — bc \), \( -a(c — b) = -ac + ab \).
Итак, \( (c — a)(c — b) = c^2 — bc — ac + ab \).
Теперь, когда мы раскрыли все скобки, соберем все члены вместе:
\( a^2 — ac — ab + bc + b^2 — ab — bc + ac + c^2 — ac — bc + ab \).
Приводим подобные члены. Начнем с \( ac \), сокращая все одинаковые члены: \( -ac + ac — ac = -ac \). Далее, собираем \( bc \): \( bc — bc — bc = -bc \). Все члены \( ab \) у нас сократились: \( -ab — ab + ab = 0 \).
Теперь у нас остаются только квадратичные члены: \( a^2 + b^2 + c^2 \).
Итак, получаем финальный результат: \( a^2 + b^2 + c^2 \), что и требовалось доказать.
