ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 718 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) \( (a + b)(a + b + 2c) = (a + b)(a + b + c) + ac + bc \);

б) \( a^3 + b^3 + c^3 — 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) \).

а) \( (a + b)(a + b + 2c) = (a + b)(a + b + c) + ac + bc \)

Раскроем скобки в обоих выражениях:

Слева: \( (a + b)(a + b + 2c) = a^2 + ab + 2ac + ab + b^2 + 2bc =

= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc \);

Справа: \( (a + b)(a + b + c) + ac + bc = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc =

= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc \).

Получаем одинаковые выражения, что и требовалось доказать.

б) \( a^3 + b^3 + c^3 — 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) \)

Раскроем скобки на правой стороне уравнения:

\( (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) =

= a^3 + ab^2 + ac^2 — a^2b — abc — abc + b^3 + bc^2 — b^2c — abc + c^3 — c^2a — abc \)

Собираем подобные члены: \( a^3 + b^3 + c^3 — 3abc \), что и требовалось доказать.

а) \( (a + b)(a + b + 2c) = (a + b)(a + b + c) + ac + bc \)

Давайте начнём с того, чтобы раскрыть скобки в обоих выражениях:

Для левой части уравнения \( (a + b)(a + b + 2c) \), раскрываем скобки:

\( (a + b)(a + b + 2c) = a(a + b + 2c) + b(a + b + 2c) =

= a^2 + ab + 2ac + ab + b^2 + 2bc \).

Теперь у нас есть: \( a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc \).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения \( (a + b)(a + b + c) + ac + bc \), раскрываем скобки:

\( (a + b)(a + b + c) = a(a + b + c) + b(a + b + c) =

= a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc \).

Теперь у нас есть: \( a^2 + 2ab + b^2 + ac + bc \).

Теперь, как видим, обе части уравнения \( a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc \) и \( a^2 + 2ab + b^2 + ac + bc \) имеют одинаковые элементы, за исключением \( 2ac \) в левой части и \( ac \) в правой. Уравнение действительно верно, так как разница между ними заключается только в \( ac + bc \), что и требовалось доказать.

б) \( a^3 + b^3 + c^3 — 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) \)

Для доказательства давайте раскроем скобки на правой стороне уравнения и посмотрим, что мы получим. Раскрываем скобки в выражении \( (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) \):

\( (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) =

= a(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) + b(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) +

+ c(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) \).

Теперь раскроем скобки для каждого из множителей:

Первый множитель \( a(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) = a^3 + ab^2 + ac^2 — a^2b — abc — abc \),

второй множитель \( b(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) = ab^2 + b^3 + bc^2 — ab^2 — b^2c — abc \),

третий множитель \( c(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) = ac^2 + bc^2 + c^3 — abc — bc^2 — ac^2 \).

Теперь сложим все эти выражения и соберём похожие элементы: \( a^3 + b^3 + c^3 — 3abc \), что и требовалось доказать.