ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 718 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) \( (a + b)(a + b + 2c) = (a + b)(a + b + c) + ac + bc \);

б) \( a^3 + b^3 + c^3 — 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) \).

а) Раскроем скобки в выражении \((a + b)(a + b + 2c)\):

\((a + b)(a + b + 2c) = a^2 + ab + ab + b^2 + 2ac + 2bc =\)
\(= a^2 + b^2 + 2ab + 2ac + 2bc\).

Раскроем скобки в выражении \((a + b)(a + b + c) + ac + bc\):

\((a + b)(a + b + c) + ac + bc = a^2 + ab + ab + b^2 + ac + bc + ac + bc =\)
\(= a^2 + b^2 + 2ab + 2ac + 2bc\).

Таким образом, равенство

\((a + b)(a + b + 2c) = (a + b)(a + b + c) + ac + bc\) верно.

б) Раскроем скобки в выражении \((a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac)\):

\[
\begin{aligned}
&= a^3 + a^2b + a^2c + ab^2 + b^3 + b^2c + ac^2 + bc^2 + c^3 \\
&\quad — a^2b — ab^2 — abc — abc — b^2c — bc^2 — abc — ac^2 \\
&= a^3 + b^3 + c^3 — 3abc.
\end{aligned}
\]

Таким образом,

\[
a^3 + b^3 + c^3 — 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac),
\] равенство верно.

а) Рассмотрим выражение \((a + b)(a + b + 2c)\). Чтобы раскрыть скобки, нужно умножить каждый член из первой скобки на каждый член из второй. Сначала умножаем \(a\) на все члены второй скобки: \(a \cdot a = a^2\), \(a \cdot b = ab\), \(a \cdot 2c = 2ac\). Далее умножаем \(b\) на все члены второй скобки: \(b \cdot a = ab\), \(b \cdot b = b^2\), \(b \cdot 2c = 2bc\). Теперь сложим все полученные слагаемые: \(a^2 + ab + 2ac + ab + b^2 + 2bc\). Объединим подобные члены \(ab + ab = 2ab\), получим итог: \(a^2 + b^2 + 2ab + 2ac + 2bc\).

Далее рассмотрим выражение \((a + b)(a + b + c) + ac + bc\). Раскроем скобки \((a + b)(a + b + c)\) аналогично первому случаю: \(a \cdot a = a^2\), \(a \cdot b = ab\), \(a \cdot c = ac\), \(b \cdot a = ab\), \(b \cdot b = b^2\), \(b \cdot c = bc\). Складываем: \(a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc\). Объединяем подобные: \(ab + ab = 2ab\), получаем \(a^2 + b^2 + 2ab + ac + bc\). Теперь прибавим оставшиеся слагаемые \(ac + bc\), итого будет \(a^2 + b^2 + 2ab + 2ac + 2bc\).

Сравнив результаты, видим, что оба выражения равны \(a^2 + b^2 + 2ab + 2ac + 2bc\). Значит, равенство \((a + b)(a + b + 2c) = (a + b)(a + b + c) + ac + bc\) верно.

б) Рассмотрим выражение \((a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac)\). Для раскрытия умножения нужно умножить каждый член первой скобки на каждый член второй. Начнем с \(a\):

\(a \cdot a^2 = a^3\), \(a \cdot b^2 = a b^2\), \(a \cdot c^2 = a c^2\), \(a \cdot (-ab) = -a^2 b\), \(a \cdot (-bc) = -a b c\), \(a \cdot (-ac) = -a^2 c\).

Далее \(b\):

\(b \cdot a^2 = a^2 b\), \(b \cdot b^2 = b^3\), \(b \cdot c^2 = b c^2\), \(b \cdot (-ab) = -a b^2\), \(b \cdot (-bc) = -b^2 c\), \(b \cdot (-ac) = -a b c\).

Далее \(c\):

\(c \cdot a^2 = a^2 c\), \(c \cdot b^2 = b^2 c\), \(c \cdot c^2 = c^3\), \(c \cdot (-ab) = -a b c\), \(c \cdot (-bc) = -b c^2\), \(c \cdot (-ac) = -a c^2\).

Теперь сложим все полученные слагаемые:

\(a^3 + a b^2 + a c^2 — a^2 b — a b c — a^2 c + a^2 b + b^3 + b c^2 — a b^2 — b^2 c — a b c +\)
\(+ a^2 c + b^2 c + c^3 — a b c — b c^2 — a c^2\).

Обратим внимание, что многие слагаемые взаимно уничтожаются:

\(- a^2 b + a^2 b = 0\), \(a b^2 — a b^2 = 0\), \(a^2 c — a^2 c = 0\), \(b^2 c — b^2 c = 0\), \(a c^2 — a c^2 = 0\), \(b c^2 — b c^2 = 0\).

Также, слагаемые \(- a b c\) встречаются три раза, их сумма \(-3 a b c\).

Остаются только кубические слагаемые и \(-3 a b c\):

\(a^3 + b^3 + c^3 — 3 a b c\).

Таким образом, равенство

\((a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac) = a^3 + b^3 + c^3 — 3 a b c\)

верно и демонстрирует классическую формулу разложения суммы кубов с вычетом тройного произведения.