ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 716 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена:

а) \( (x — 1)(x — 3)(x — 5) \);

б) \( x(x — 1)(x — 2) — x^2(x — 3) \);

в) \( (y — 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) \);

г) \( (n + 1)(n^4 — n^3 + n^2 — n + 1) \).

а) \( (x — 1)(x — 3)(x — 5) = (x^2 — 3x — x + 3)(x — 5) = (x^2 — 4x + 3)(x — 5) = x^3 — 5x^2 — 4x^2 + 20x + 3x — 15 = x^3 — 9x^2 + 23x — 15 \).

б) \( (x — 1)(x — 2) — x^2(x — 3) = (x^2 — 2x — x + 2) — x^2(x — 3) = x^2 — 3x + 2 — x^3 + 3x^2 = -x^3 + 4x^2 — 3x + 2 \).

в) \( (y — 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y — y^4 — y^3 — y^2 — y — 1 = y^5 — 1 \).

г) \( (n + 1)(n^4 — n^3 + n^2 — n + 1) = n^5 — n^4 + n^3 — n^2 + n + n^4 — n^3 + n^2 — n + 1 = n^5 + 1 \).

а) \( (x — 1)(x — 3)(x — 5) \)

Для начала раскроем первые две скобки: \( (x — 1)(x — 3) = x^2 — 3x — x + 3 = x^2 — 4x + 3 \). Теперь, умножим это на третью скобку \( (x — 5) \):

\( (x^2 — 4x + 3)(x — 5) = x^2(x — 5) — 4x(x — 5) + 3(x — 5) \).

Теперь раскроем все произведения: \( x^2(x — 5) = x^3 — 5x^2 \), \( -4x(x — 5) = -4x^2 + 20x \), и \( 3(x — 5) = 3x — 15 \).

Теперь соберём все эти члены вместе: \( x^3 — 5x^2 — 4x^2 + 20x + 3x — 15 \).

Приводим подобные: \( -5x^2 — 4x^2 = -9x^2 \), \( 20x + 3x = 23x \), и остаётся \( -15 \).

Итог: \( x^3 — 9x^2 + 23x — 15 \).

б) \( (x — 1)(x — 2) — x^2(x — 3) \)

Для начала раскроем скобки в выражении \( (x — 1)(x — 2) = x^2 — 2x — x + 2 = x^2 — 3x + 2 \).

Теперь, умножим \( x^2 \) на \( (x — 3) \), получаем: \( x^2(x — 3) = x^3 — 3x^2 \).

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение: \( x^2 — 3x + 2 — x^3 + 3x^2 \).

Собираем все члены: \( x^2 + 3x^2 = 4x^2 \), а остальные остаются: \( -3x + 2 — x^3 \).

Итог: \( -x^3 + 4x^2 — 3x + 2 \).

в) \( (y — 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) \)

Для начала раскроем скобки в выражении \( (y — 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) \). Перемножаем \( y \) на каждый член многочлена и затем умножаем \( -1 \) на каждый из этих же членов:

\( y(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y \),

и \( -1(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = -y^4 — y^3 — y^2 — y — 1 \).

Теперь соберём все эти члены: \( y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y — y^4 — y^3 — y^2 — y — 1 \).

Приводим подобные: \( y^4 — y^4 = 0 \), \( y^3 — y^3 = 0 \), \( y^2 — y^2 = 0 \), \( y — y = 0 \), и остаётся только: \( y^5 — 1 \).

Итог: \( y^5 — 1 \).

г) \( (n + 1)(n^4 — n^3 + n^2 — n + 1) \)

Для начала раскроем скобки в выражении \( (n + 1)(n^4 — n^3 + n^2 — n + 1) \). Перемножаем \( n \) на каждый член многочлена и затем умножаем \( 1 \) на каждый из этих же членов:

\( n(n^4 — n^3 + n^2 — n + 1) = n^5 — n^4 + n^3 — n^2 + n \),

и \( 1(n^4 — n^3 + n^2 — n + 1) = n^4 — n^3 + n^2 — n + 1 \).

Теперь соберём все эти члены: \( n^5 — n^4 + n^3 — n^2 + n + n^4 — n^3 + n^2 — n + 1 \).

Приводим подобные: \( -n^4 + n^4 = 0 \), \( n^3 — n^3 = 0 \), \( -n^2 + n^2 = 0 \), \( n — n = 0 \), и остаётся только: \( n^5 + 1 \).

Итог: \( n^5 + 1 \).