ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 696 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( \frac{1}{3}(x + 1) — \frac{2}{3}(x — 1) = \frac{2}{3}(x — 3) \);

б) \( \frac{1}{2}(3x + 7) — \frac{3}{4}(2x — 2) = \frac{3}{4}(x + 1) \);

в) \( x(x — 3) + x(2x — 1) = 3x(x — 2) — 3 \);

г) \( 3 + 2x(3x — 4) = 4x(2x + 5) — 2x(x — 1) \);

д) \( x(x + 1) — 10 = x — 1(x — 3)(x — 5) \);

е) \( (x — 1)(x — 4)(x + 7) = x(x + 1)^2 \);

а) \( \frac{1}{3}(x + 1) — \frac{2}{3}(x — 1) = \frac{2}{3}(x — 3) \);

Решение:

\( (x + 1) — 2(x — 1) = 2(x — 3) \);

Раскроем скобки:

\( x + 1 — 2x + 2 = 2x — 6 \);

Упростим выражение:

\( -x + 3 = 2x — 6 \);

Переносим все переменные в одну сторону, а числа — в другую:

\( -x — 2x = -6 — 3 \);

\( -3x = -9 \);

Решение:

\( x = 3 \).

б) \( \frac{1}{2}(3x + 7) — \frac{3}{4}(2x — 2) = \frac{3}{4}(x + 1) \);

Решение:

2(3x + 7) — 3(2x — 2) = 3(x + 1);

6x + 14 — 6x + 6 = 3x + 3;

Упрощаем:

3x + 20 = 3x + 3;

После сокращения:

3x = 17;

Решение:

\( x = \frac{17}{3} \).

в) \( x(x — 3) + x(2x — 1) = 3x(x — 2) — 3 \);

Решение:

Раскроем скобки:

\( x^2 — 3x + 2x^2 — x = 3x^2 — 6x — 3 \);

Теперь упростим:

\( 3x^2 — 3x = 3x^2 — 6x — 3 \);

Сокращаем:

\( -3x = -6x — 3 \);

Теперь решаем для \(x\):

\( x = -1.5 \).

г) \( 3 + 2x(3x — 4) = 4x(2x + 5) — 2x(x — 1) \);

Решение:

Раскроем скобки:

\( 3 + 6x^2 — 8x = 8x^2 + 20x — 2x^2 + 2x \);

Упрощаем:

\( 6x^2 — 8x + 3 = 6x^2 + 22x \);

Переносим все переменные в одну сторону:

\( -8x + 3 — 22x = 0 \);

Упростим:

\( -30x = -3 \);

Решение:

\( x = \frac{1}{10} \).

д) \( x(x + 1) — 10 = x — 1(x — 3)(x — 5) \);

Решение:

Раскроем скобки:

\( x^2 + x — 10 = x — 1(x^2 — 8x + 15) \);

Упрощаем:

\( x^2 + x — 10 = x — x^2 + 8x — 15 \);

Переносим все переменные в одну сторону:

\( x^2 + x — 10 — x + x^2 — 8x + 15 = 0 \);

Упрощаем:

\( 2x^2 — 7x + 5 = 0 \);

Решение:

\( x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 — 40}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{7 \pm 3}{4} \).

Ответ: \( x = \frac{10}{4} = 2.5 \) или \( x = \frac{4}{4} = 1 \).

е) \( (x — 1)(x — 4)(x + 7) = x(x + 1)^2 \);

Решение:

Раскроем скобки с левой стороны:

\( (x — 1)(x — 4)(x + 7) = (x^2 — 5x + 4)(x + 7) = x^3 — 5x^2 + 4x + 7x^2 — 35x + 28 = x^3 + 2x^2 — 31x + 28 \);

Раскроем скобки с правой стороны:

\( x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x \);

Теперь приравняем обе части:

\( x^3 + 2x^2 — 31x + 28 = x^3 + 2x^2 + x \);

Упростим:

\( -31x + 28 = x \);

Решение:

\( -32x = -28 \);

\( x = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} \).

Решите уравнение:

а) Рассмотрим уравнение:

\( \frac{1}{3}(x + 1) — \frac{2}{3}(x — 1) = \frac{2}{3}(x — 3) \);

Первым шагом, умножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

\( (x + 1) — 2(x — 1) = 2(x — 3) \).

Теперь раскроем скобки в каждом выражении:

\( (x + 1) — 2(x — 1) = x + 1 — 2x + 2 = -x + 3 \);

\( 2(x — 3) = 2x — 6 \);

Теперь приравняем полученные выражения:

\( -x + 3 = 2x — 6 \).

Переносим все переменные в одну сторону, а все числа — в другую:

\( -x — 2x = -6 — 3 \);

\( -3x = -9 \);

Теперь решим для \(x\):

\( x = \frac{-9}{-3} = 3 \).

Ответ: \( x = 3 \).

б) Рассмотрим уравнение:

\( \frac{1}{2}(3x + 7) — \frac{3}{4}(2x — 2) = \frac{3}{4}(x + 1) \);

Первым шагом умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

4 \times \frac{1}{2}(3x + 7) — 4 \times \frac{3}{4}(2x — 2) = 4 \times \frac{3}{4}(x + 1);

2(3x + 7) — 3(2x — 2) = 3(x + 1).

Теперь раскроем скобки в каждом выражении:

2(3x + 7) = 6x + 14;

3(2x — 2) = 6x — 6;

3(x + 1) = 3x + 3.

Подставляем выражения в уравнение:

6x + 14 — (6x — 6) = 3x + 3;

Теперь упростим уравнение:

6x + 14 — 6x + 6 = 3x + 3;

14 + 6 = 3x + 3;

20 = 3x + 3;

Теперь переносим все числа в одну сторону и переменные в другую:

20 — 3 = 3x;

17 = 3x;

Теперь решим для \(x\):

\( x = \frac{17}{3} \).

Ответ: \( x = \frac{17}{3} \).

в) Рассмотрим уравнение:

\( x(x — 3) + x(2x — 1) = 3x(x — 2) — 3 \);

Первым шагом раскроем скобки в каждом произведении:

\( x(x — 3) = x^2 — 3x \);

\( x(2x — 1) = 2x^2 — x \);

\( 3x(x — 2) = 3x^2 — 6x \);

Подставим все выражения в уравнение:

\( x^2 — 3x + 2x^2 — x = 3x^2 — 6x — 3 \);

Теперь упростим уравнение:

\( 3x^2 — 3x = 3x^2 — 6x — 3 \);

Переносим все переменные в одну сторону и числа в другую:

\( 3x^2 — 3x — 3x^2 + 6x = -3 \);

\( 3x = -3 \);

Теперь решим для \(x\):

\( x = \frac{-3}{3} = -1 \).

Ответ: \( x = -1.5 \).

г) Рассмотрим уравнение:

\( 3 + 2x(3x — 4) = 4x(2x + 5) — 2x(x — 1) \);

Раскроем скобки:

\( 3 + 2x(3x — 4) = 3 + 6x^2 — 8x \);

\( 4x(2x + 5) = 8x^2 + 20x \);

\( -2x(x — 1) = -2x^2 + 2x \);

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\( 3 + 6x^2 — 8x = 8x^2 + 20x — 2x^2 + 2x \);

Упростим уравнение:

\( 3 + 6x^2 — 8x = 6x^2 + 22x \);

Теперь перенесем все переменные в одну сторону и числа в другую:

\( 6x^2 — 6x^2 — 8x — 22x = -3 \);

\( -30x = -3 \);

Решение:

\( x = \frac{-3}{-30} = \frac{1}{10} \).

Ответ: \( x = \frac{1}{10} \).

д) Рассмотрим уравнение:

\( x(x + 1) — 10 = x — 1(x — 3)(x — 5) \);

Раскроем скобки:

\( x(x + 1) = x^2 + x \);

\( x — 1(x — 3)(x — 5) = x — 1(x^2 — 8x + 15) = x — x^2 + 8x — 15 \);

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\( x^2 + x — 10 = x — x^2 + 8x — 15 \);

Переносим все переменные в одну сторону:

\( x^2 + x — 10 + x^2 — 8x + 15 = 0 \);

\( 2x^2 — 7x + 5 = 0 \);

Решаем квадратное уравнение с помощью формулы:

\( x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 — 40}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{7 \pm 3}{4} \).

Ответ: \( x = \frac{10}{4} = 2.5 \) или \( x = \frac{4}{4} = 1 \).

е) Рассмотрим уравнение:

\( (x — 1)(x — 4)(x + 7) = x(x + 1)^2 \);

Раскроем скобки с левой стороны:

\( (x — 1)(x — 4)(x + 7) = (x^2 — 5x + 4)(x + 7) = x^3 — 5x^2 + 4x + 7x^2 — 35x + 28 = x^3 + 2x^2 — 31x + 28 \);

Раскроем скобки с правой стороны:

\( x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x \);

Теперь приравняем обе части:

\( x^3 + 2x^2 — 31x + 28 = x^3 + 2x^2 + x \);

Упростим:

\( -31x + 28 = x \);

Решение:

\( -32x = -28 \);

\( x = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} \).