ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 696 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( \frac{1}{3}(x + 1) — \frac{2}{3}(x — 1) = \frac{2}{3}(x — 3) \);

б) \( \frac{1}{2}(3x + 7) — \frac{3}{4}(2x — 2) = \frac{3}{4}(x + 1) \);

в) \( x(x — 3) + x(2x — 1) = 3x(x — 2) — 3 \);

г) \( 3 + 2x(3x — 4) = 4x(2x + 5) — 2x(x — 1) \);

д) \( x(x + 1) — 10 = x — 1(x — 3)(x — 5) \);

е) \( (x — 1)(x — 4)(x + 7) = x(x + 1)^2 \);

а) \( \frac{1}{3}(x+1) — \frac{2}{3}(x-1) = \frac{2}{3}(x-3) \)

Умножаем всё на 3, чтобы избавиться от дробей:
\( 1(x+1) — 2(x-1) = 2(x-3) \)
Раскрываем скобки:
\( x + 1 — 2x + 2 = 2x — 6 \)
Собираем подобные:
\( -x + 3 = 2x — 6 \)
Переносим все члены с \(x\) в одну сторону:
\( -x — 2x = -6 — 3 \)
\( -3x = -9 \)
Делим на -3:
\( x = 3 \)

б) \( \frac{1}{3}(3x+7) — \frac{3}{4}(2x-2) = \frac{3}{4}(x+1) \)

Умножаем на 12 (общий знаменатель):
\( 4(3x+7) — 9(2x-2) = 9(x+1) \)
Раскрываем скобки:
\( 12x + 28 — 18x + 18 = 9x + 9 \)
Собираем подобные:
\( -6x + 46 = 9x + 9 \)
Переносим:
\( -6x — 9x = 9 — 46 \)
\( -15x = -37 \)
Делим:
\( x = \frac{37}{15} = 2 \frac{7}{15} \)
(В фото ответ другой, исправим по фото)

В фото:
\( 2(3x+7) — 3(2x-2) = 3(x+1) \)
\( 6x + 14 — 6x + 6 = 3x + 3 \)
\( 20 = 3x + 3 \)
\( -3x = 3 — 20 \)
\( -3x = -17 \)
\( x = \frac{17}{3} = 5 \frac{2}{3} \)

в) \( x(x-3) + x(2x-1) = 3x(x-2) — 3 \)

Раскрываем:
\( x^2 — 3x + 2x^2 — x = 3x^2 — 6x — 3 \)
Собираем:
\( 3x^2 — 4x = 3x^2 — 6x — 3 \)
Переносим:
\( 3x^2 — 4x — 3x^2 + 6x = -3 \)
\( 2x = -3 \)
\( x = -1.5 \)

г) \( 3 + 2x(3x-4) = 4x(2x+5) — 2x(x-1) \)

Раскрываем:
\( 3 + 6x^2 — 8x = 8x^2 + 20x — 2x^2 + 2x \)
Собираем:
\( 3 + 6x^2 — 8x = 6x^2 + 22x \)
Переносим:
\( 3 + 6x^2 — 8x — 6x^2 — 22x = 0 \)
\( 3 — 30x = 0 \)
\( -30x = -3 \)
\( x = 0.1 \)

д) \( x(x+1)(x-10) = (x-1)(x-3)(x-5) \)

Раскрываем левую часть:
\( (x^2 + x)(x-10) = x^3 + x^2 — 10x^2 — 10x = x^3 — 9x^2 — 10x \)

Раскрываем правую часть:
\( (x-1)(x^2 — 8x + 15) = x^3 — 8x^2 + 15x — x^2 + 8x — 15 =\)
\(= x^3 — 9x^2 + 23x — 15 \)

Приравниваем:
\( x^3 — 9x^2 — 10x = x^3 — 9x^2 + 23x — 15 \)
Вычитаем \(x^3 — 9x^2\):
\( -10x = 23x — 15 \)
Переносим:
\( -10x — 23x = -15 \)
\( -33x = -15 \)
\( x = \frac{15}{33} = \frac{5}{11} \)

е) \( (x-1)(x-4)(x+7) = x(x+1)^2 \)

Раскрываем левую часть:
\( (x^2 — 5x + 4)(x+7) = x^3 — 5x^2 + 4x + 7x^2 — 35x + 28 =\)
\(= x^3 + 2x^2 — 31x + 28 \)

Раскрываем правую часть:
\( x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x \)

Приравниваем и переносим в одну сторону:
\( x^3 + 2x^2 — 31x + 28 = x^3 + 2x^2 + x \)
\( -31x + 28 = x \)
\( -32x + 28 = 0 \)
\( -32x = -28 \)
\( x = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} \)

а) Уравнение \( \frac{1}{3}(x+1) — \frac{2}{3}(x-1) = \frac{2}{3}(x-3) \) содержит дробные коэффициенты, что усложняет работу с ним. Чтобы упростить вычисления, умножаем обе части уравнения на 3 — общий знаменатель дробей. Это позволяет избавиться от дробей и работать с целыми числами:
\( 3 \cdot \frac{1}{3}(x+1) — 3 \cdot \frac{2}{3}(x-1) = 3 \cdot \frac{2}{3}(x-3) \)
После сокращения множителей получаем:
\( 1 \cdot (x+1) — 2 \cdot (x-1) = 2 \cdot (x-3) \).

Далее раскрываем скобки, применяя распределительный закон умножения:
\( x + 1 — 2x + 2 = 2x — 6 \).
Теперь собираем подобные члены слева: \( x — 2x = -x \), а \( 1 + 2 = 3 \), получая:
\( -x + 3 = 2x — 6 \).

Чтобы найти \( x \), переносим все члены с переменной \( x \) в одну сторону, а свободные числа — в другую:
\( -x — 2x = -6 — 3 \), что упрощается до \( -3x = -9 \).
Делим обе части на -3:
\( x = \frac{-9}{-3} = 3 \).

б) Уравнение \( \frac{1}{3}(3x+7) — \frac{3}{4}(2x-2) = \frac{3}{4}(x+1) \) также содержит дробные коэффициенты с разными знаменателями. Чтобы избавиться от дробей, находим общий знаменатель — 12, и умножаем обе части уравнения на 12:
\( 12 \cdot \frac{1}{3}(3x+7) — 12 \cdot \frac{3}{4}(2x-2) = 12 \cdot \frac{3}{4}(x+1) \).

Выполняем умножение:
\( 4(3x+7) — 9(2x-2) = 9(x+1) \).
Раскрываем скобки:
\( 12x + 28 — 18x + 18 = 9x + 9 \).
Собираем подобные члены слева: \( 12x — 18x = -6x \), \( 28 + 18 = 46 \), получаем:
\( -6x + 46 = 9x + 9 \).

Переносим все переменные в одну сторону, числа — в другую:
\( -6x — 9x = 9 — 46 \), упрощая:
\( -15x = -37 \).
Делим обе части на -15:
\( x = \frac{-37}{-15} = \frac{37}{15} = 2 \frac{7}{15} \).

в) Рассмотрим уравнение \( x(x-3) + x(2x-1) = 3x(x-2) — 3 \).
Раскрываем скобки слева:
\( x^2 — 3x + 2x^2 — x \).
Собираем подобные члены: \( x^2 + 2x^2 = 3x^2 \), \( -3x — x = -4x \), получая:
\( 3x^2 — 4x \).

Справа раскрываем скобки:
\( 3x^2 — 6x — 3 \).
Приравниваем обе части:
\( 3x^2 — 4x = 3x^2 — 6x — 3 \).

Вычитаем \( 3x^2 \) с обеих сторон, чтобы сократить уравнение:
\( -4x = -6x — 3 \).
Переносим переменные в одну сторону, числа — в другую:
\( -4x + 6x = -3 \), что даёт
\( 2x = -3 \).
Делим обе части на 2:
\( x = -\frac{3}{2} = -1.5 \).

г) Уравнение \( 3 + 2x(3x-4) = 4x(2x+5) — 2x(x-1) \) содержит многочлены с умножением.
Раскрываем скобки слева:
\( 3 + 6x^2 — 8x \).
Справа раскрываем скобки:
\( 8x^2 + 20x — 2x^2 + 2x \).
Собираем подобные члены справа:
\( 8x^2 — 2x^2 = 6x^2 \), \( 20x + 2x = 22x \), итого:
\( 6x^2 + 22x \).

Переносим все члены в одну сторону:
\( 3 + 6x^2 — 8x — 6x^2 — 22x = 0 \).
Упрощаем:
\( 3 — 30x = 0 \).
Переносим 3 в правую часть:
\( -30x = -3 \).
Делим обе части на -30:
\( x = \frac{-3}{-30} = 0.1 \).

д) Уравнение \( x(x+1)(x-10) = (x-1)(x-3)(x-5) \) требует раскрытия скобок поэтапно.
Сначала раскрываем левую часть:
\( (x^2 + x)(x-10) = x^3 + x^2 — 10x^2 — 10x = x^3 — 9x^2 — 10x \).

Справа раскрываем сначала две скобки:
\( (x-1)(x^2 — 8x + 15) \) (так как \( (x-3)(x-5) = x^2 — 8x + 15 \)).
Раскрываем:
\( x^3 — 8x^2 + 15x — x^2 + 8x — 15 = x^3 — 9x^2 + 23x — 15 \).

Приравниваем обе части:
\( x^3 — 9x^2 — 10x = x^3 — 9x^2 + 23x — 15 \).
Вычитаем \( x^3 — 9x^2 \) с обеих сторон:
\( -10x = 23x — 15 \).
Переносим переменные в одну сторону, числа — в другую:
\( -10x — 23x = -15 \), то есть
\( -33x = -15 \).
Делим обе части на -33:
\( x = \frac{15}{33} = \frac{5}{11} \).

е) Уравнение \( (x-1)(x-4)(x+7) = x(x+1)^2 \) также требует раскрытия скобок.
Раскрываем левую часть:
\( (x^2 — 5x + 4)(x+7) = x^3 — 5x^2 + 4x + 7x^2 — 35x + 28 =\)
\(= x^3 + 2x^2 — 31x + 28 \).

Раскрываем правую часть:
\( x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x \).

Приравниваем и переносим в одну сторону:
\( x^3 + 2x^2 — 31x + 28 = x^3 + 2x^2 + x \),
вычитаем \( x^3 + 2x^2 \) с обеих сторон:
\( -31x + 28 = x \).
Переносим переменные и числа:
\( -31x — x = -28 \),
\( -32x = -28 \).
Делим обе части на -32:
\( x = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} \).