Учебник «Алгебра. 7 класс» авторов Дорофеев Г.В. и Суворова С.Б. — это современное пособие, которое помогает школьникам сделать первые серьезные шаги в изучении алгебры. Книга рассчитана на широкий круг учеников и отличается продуманной структурой, доступным языком и большим количеством разнообразных задач.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 678 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы
Представьте в виде многочлена стандартного вида:
a) сумму двузначного числа \( ab \) с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке;
б) разность трёхзначного числа \( abc \) и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке;
в) сумму всех трёхзначных чисел, которые могут быть записаны цифрами \( a \), \( b \) и \( c \) так, чтобы каждая из них содержалась в числе только один раз.
а) \( \overline{ab} + \overline{ba} = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b \).
б) \( \overline{abc} — \overline{cba} = 100a + 10b + c — (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c — 100c — 10b — a = 99a — 99c \).
в) \( \overline{abc} + \overline{acb} + \overline{bac} + \overline{bca} + \overline{cab} + \overline{cba} = 100a + 10b + c + 100a + 10c + b + 100b + 10a + c + 100c + 10a + b + 100c + 10b + a = 222a + 222b + 222c \).
а) Рассмотрим выражение \( \overline{ab} + \overline{ba} \), где \( \overline{ab} \) — это двузначное число, составленное из цифр \( a \) и \( b \), а \( \overline{ba} \) — двузначное число, составленное из тех же цифр, но в обратном порядке. Раскроем выражения для \( \overline{ab} \) и \( \overline{ba} \):
\( \overline{ab} = 10a + b \),
\( \overline{ba} = 10b + a \).
Теперь сложим эти два выражения:
\( \overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a) = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b \).
Таким образом, мы выразили сумму двух чисел \( \overline{ab} \) и \( \overline{ba} \) через \( a \) и \( b \), получив \( 11a + 11b \).
б) Теперь рассмотрим выражение \( \overline{abc} — \overline{cba} \), где \( \overline{abc} \) — это трехзначное число, составленное из цифр \( a \), \( b \), и \( c \), а \( \overline{cba} \) — это число, составленное из тех же цифр, но в обратном порядке. Раскроем выражения для \( \overline{abc} \) и \( \overline{cba} \):
\( \overline{abc} = 100a + 10b + c \),
\( \overline{cba} = 100c + 10b + a \).
Теперь вычислим разность \( \overline{abc} — \overline{cba} \):
\( \overline{abc} — \overline{cba} = (100a + 10b + c) — (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c — 100c — 10b — a \).
Приведем подобные слагаемые:
\( 100a — a + 10b — 10b + c — 100c = 99a — 99c \).
Таким образом, разность \( \overline{abc} — \overline{cba} \) выражается как \( 99a — 99c \).
в) Теперь рассмотрим сумму нескольких выражений, включающих все возможные перестановки цифр \( a \), \( b \), и \( c \) для трехзначных чисел. Мы будем складывать следующие числа: \( \overline{abc} \), \( \overline{acb} \), \( \overline{bac} \), \( \overline{bca} \), \( \overline{cab} \), и \( \overline{cba} \). Раскроем каждое из этих выражений:
\( \overline{abc} = 100a + 10b + c \),
\( \overline{acb} = 100a + 10c + b \),
\( \overline{bac} = 100b + 10a + c \),
\( \overline{bca} = 100b + 10c + a \),
\( \overline{cab} = 100c + 10a + b \),
\( \overline{cba} = 100c + 10b + a \).
Теперь сложим все эти выражения:
\( \overline{abc} + \overline{acb} + \overline{bac} + \overline{bca} + \overline{cab} + \overline{cba} \)
\( = (100a + 10b + c) + (100a + 10c + b) + (100b + 10a + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) + (100c + 10b + a) \).
Группируем все слагаемые по соответствующим цифрам \( a \), \( b \), и \( c \):
\( = (100a + 100a + 10a + 10a + 10a + 10a) + (100b + 100b + 10b + 10b + 10b + 10b) + (100c + 100c + 10c + 10c + 10c + 10c) \)
\( = 222a + 222b + 222c \).
Таким образом, сумма всех этих чисел равна \( 222a + 222b + 222c \).
