Учебник «Алгебра. 7 класс» авторов Дорофеев Г.В. и Суворова С.Б. — это современное пособие, которое помогает школьникам сделать первые серьезные шаги в изучении алгебры. Книга рассчитана на широкий круг учеников и отличается продуманной структурой, доступным языком и большим количеством разнообразных задач.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 669 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражения \( P + Q \), \( P — Q \) и \( Q — P \), если:
а) \( P = 2x^2 + x — 2, \, Q = 1 + 2x — 2x^2 \);
б) \( P = 12 — 5a — 10a^2, \, Q = 10 + 4a — 10a^2 \).
а) \( P = 2x^2 + x — 2; \, Q = 1 + 2x — 2x^2; \)
Пусть:
\( P + Q = 2x^2 + x — 2 + 1 + 2x — 2x^2 = 3x — 1 \).
\( P — Q = 2x^2 + x — 2 — (1 + 2x — 2x^2) = 2x^2 + x — 2 — 1 — 2x + 2x^2 = 4x^2 — x — 3 \).
\( Q — P = 1 + 2x — 2x^2 — (2x^2 + x — 2) = 1 + 2x — 2x^2 — 2x^2 — x + 2 = -4x^2 + x + 3 \).
б) \( P = 12 — 5a — 10a^2; \, Q = 10 + 4a — 10a^2; \)
Пусть:
\( P + Q = 12 — 5a — 10a^2 + 10 + 4a — 10a^2 = -20a^2 — a + 22 \).
\( P — Q = 12 — 5a — 10a^2 — (10 + 4a — 10a^2) = 12 — 5a — 10a^2 — 10 — 4a + 10a^2 = -9a + 2 \).
\( Q — P = 10 + 4a — 10a^2 — (12 — 5a — 10a^2) = 10 + 4a — 10a^2 — 12 + 5a + 10a^2 = 9a — 2 \).
а) Рассмотрим выражение \( P = 2x^2 + x — 2 \) и \( Q = 1 + 2x — 2x^2 \). Мы должны упростить следующие выражения: \( P + Q \), \( P — Q \) и \( Q — P \).
Для начала сложим \( P \) и \( Q \):
\( P + Q = (2x^2 + x — 2) + (1 + 2x — 2x^2) \).
Теперь раскрываем скобки и объединяем подобные члены:
Квадратичные члены с \( x^2 \): \( 2x^2 — 2x^2 = 0 \),
Линейные члены с \( x \): \( x + 2x = 3x \),
Постоянные: \( -2 + 1 = -1 \).
Таким образом, результат равен:
\( P + Q = 3x — 1 \), что и есть упрощённое выражение для суммы \( P + Q \).
Теперь вычислим разность \( P — Q \):
\( P — Q = (2x^2 + x — 2) — (1 + 2x — 2x^2) \).
Раскрываем скобки, помня, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех её членов:
\( P — Q = 2x^2 + x — 2 — 1 — 2x + 2x^2 \).
Теперь объединяем подобные члены:
Квадратичные члены с \( x^2 \): \( 2x^2 + 2x^2 = 4x^2 \),
Линейные члены с \( x \): \( x — 2x = -x \),
Постоянные: \( -2 — 1 = -3 \).
Таким образом, результат разности \( P — Q \) равен:
\( P — Q = 4x^2 — x — 3 \).
Теперь вычислим разность \( Q — P \):
\( Q — P = (1 + 2x — 2x^2) — (2x^2 + x — 2) \).
Раскрываем скобки, опять меняя знаки перед членами второй скобки:
\( Q — P = 1 + 2x — 2x^2 — 2x^2 — x + 2 \).
Теперь объединяем подобные члены:
Квадратичные члены с \( x^2 \): \( -2x^2 — 2x^2 = -4x^2 \),
Линейные члены с \( x \): \( 2x — x = x \),
Постоянные: \( 1 + 2 = 3 \).
Таким образом, результат разности \( Q — P \) равен:
\( Q — P = -4x^2 + x + 3 \).
б) Рассмотрим выражение \( P = 12 — 5a — 10a^2 \) и \( Q = 10 + 4a — 10a^2 \). Мы должны упростить следующие выражения: \( P + Q \), \( P — Q \) и \( Q — P \).
Для начала сложим \( P \) и \( Q \):
\( P + Q = (12 — 5a — 10a^2) + (10 + 4a — 10a^2) \).
Теперь раскрываем скобки и объединяем подобные члены:
Постоянные: \( 12 + 10 = 22 \),
Члены с \( a \): \( -5a + 4a = -a \),
Члены с \( a^2 \): \( -10a^2 — 10a^2 = -20a^2 \).
Таким образом, результат суммы \( P + Q \) равен:
\( P + Q = -20a^2 — a + 22 \).
Теперь вычислим разность \( P — Q \):
\( P — Q = (12 — 5a — 10a^2) — (10 + 4a — 10a^2) \).
Раскрываем скобки, меняя знаки перед членами второй скобки:
\( P — Q = 12 — 5a — 10a^2 — 10 — 4a + 10a^2 \).
Теперь объединяем подобные члены:
Постоянные: \( 12 — 10 = 2 \),
Члены с \( a \): \( -5a — 4a = -9a \),
Члены с \( a^2 \): \( -10a^2 + 10a^2 = 0 \).
Таким образом, результат разности \( P — Q \) равен:
\( P — Q = -9a + 2 \).
Теперь вычислим разность \( Q — P \):
\( Q — P = (10 + 4a — 10a^2) — (12 — 5a — 10a^2) \).
Раскрываем скобки, меняя знаки перед членами второй скобки:
\( Q — P = 10 + 4a — 10a^2 — 12 + 5a + 10a^2 \).
Теперь объединяем подобные члены:
Постоянные: \( 10 — 12 = -2 \),
Члены с \( a \): \( 4a + 5a = 9a \),
Члены с \( a^2 \): \( -10a^2 + 10a^2 = 0 \).
Таким образом, результат разности \( Q — P \) равен:
\( Q — P = 9a — 2 \).
