ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 664 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Убедитесь в том, что данные многочлены противоположны, и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных:

а) \( x — y — z \) и \( y + z — x \) при \( x = 0,3, \, y = -0,2, \, z = -0,1 \);

б) \( x^2 + 2x — 1 \) и \( 1 — 2x — x^2 \) при \( x = -\frac{1}{3} \).

а) \( (x — y — z) + (y + z — x) = x — y — z + y + z — x = 0 \) — противоположны.

при \( x = 0,3; \, y = -0,2; \, z = -0,1 \);

\( x — y — z = 0,3 — (-0,2) — (-0,1) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6 \).

\( y + z — x = -0,2 + 0,1 — 0,3 = -0,3 — 0,3 = -0,6 \).

б) \((x^2 + 2x — 1) + (1 — 2x — x^2) = x^2 + 2x — 1 + 1 — 2x — x^2 = 0\), т.е. многочлены противоположны.

\(x = -\frac{1}{3}\)

Проверка:

\(x^2 + 2x — 1 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) — 1 = \frac{1}{9} — \frac{2}{3} — 1 = \frac{1 — 6 — 9}{9} = -\frac{14}{9} = -1 \frac{5}{9}\)

\(1 — 2x — x^2 = 1 — 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) — \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 + \frac{2}{3} — \frac{1}{9} = \frac{9 + 6 — 1}{9} = \frac{14}{9} = 1 \frac{5}{9}\)

а) Рассмотрим выражение \( (x — y — z) + (y + z — x) \). Нам нужно показать, что эти два двучлена противоположны, то есть их сумма должна быть равна 0. Подставляем значения переменных:

\( (x — y — z) + (y + z — x) = x — y — z + y + z — x \).

Теперь объединяем подобные члены:

Сначала кубические члены с \( x \) (обратите внимание, что они есть в обоих слагаемых): \( x — x = 0 \),

Теперь объединяем члены с \( y \): \( -y + y = 0 \),

И, наконец, члены с \( z \): \( -z + z = 0 \).

Таким образом, результат суммы этих двучленов: \( 0 + 0 + 0 = 0 \). Мы доказали, что эти двучлены противоположны.

Теперь подставим конкретные значения для \( x = 0,3 \), \( y = -0,2 \), \( z = -0,1 \) в исходное выражение:

Первые вычисления:

\( x — y — z = 0,3 — (-0,2) — (-0,1) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6 \),

вторые вычисления:

\( y + z — x = -0,2 + 0,1 — 0,3 = -0,3 — 0,3 = -0,6 \).

Как мы видим, выражения с конкретными значениями также дают противоположные результаты, подтверждая, что двучлены противоположны.

б) Рассмотрим выражение \((x^2 + 2x — 1) + (1 — 2x — x^2)\). Раскроем скобки и сложим подобные члены: \(x^2 + 2x — 1 + 1 — 2x — x^2\). При этом \(x^2\) и \(-x^2\) взаимно уничтожаются, \(2x\) и \(-2x\) тоже взаимно уничтожаются, а \(-1 + 1 = 0\). В итоге сумма равна нулю, то есть многочлены являются противоположными.

Для нахождения значения \(x\), при котором выполняется равенство, подставим \(x = -\frac{1}{3}\) и проверим каждое выражение отдельно. Сначала вычислим \(x^2 + 2x — 1\):

\( \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) — 1 = \frac{1}{9} — \frac{2}{3} — 1 \).

Приведём дроби к общему знаменателю 9:

\(\frac{1}{9} — \frac{6}{9} — \frac{9}{9} = \frac{1 — 6 — 9}{9} = \frac{-14}{9} = -1 \frac{5}{9}\).

Далее вычислим \(1 — 2x — x^2\):

\(1 — 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) — \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 + \frac{2}{3} — \frac{1}{9}\).

Приведём к общему знаменателю 9:

\(\frac{9}{9} + \frac{6}{9} — \frac{1}{9} = \frac{9 + 6 — 1}{9} = \frac{14}{9} = 1 \frac{5}{9}\).

Таким образом, первое выражение равно \(-\frac{14}{9}\), а второе — \(\frac{14}{9}\), то есть они действительно противоположны друг другу. Это подтверждает правильность выбора \(x = -\frac{1}{3}\) и доказывает, что данные многочлены взаимно противоположны при этом значении переменной.