Учебник «Алгебра. 7 класс» авторов Дорофеев Г.В. и Суворова С.Б. — это современное пособие, которое помогает школьникам сделать первые серьезные шаги в изучении алгебры. Книга рассчитана на широкий круг учеников и отличается продуманной структурой, доступным языком и большим количеством разнообразных задач.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 664 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы
Убедитесь в том, что данные многочлены противоположны, и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных:
а) \( x — y — z \) и \( y + z — x \) при \( x = 0,3, \, y = -0,2, \, z = -0,1 \);
б) \( x^2 + 2x — 1 \) и \( 1 — 2x — x^2 \) при \( x = -\frac{1}{3} \).
а) \( (x — y — z) + (y + z — x) = x — y — z + y + z — x = 0 \) — противоположны.
при \( x = 0,3; \, y = -0,2; \, z = -0,1 \);
\( x — y — z = 0,3 — (-0,2) — (-0,1) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6 \).
\( y + z — x = -0,2 + 0,1 — 0,3 = -0,3 — 0,3 = -0,6 \).
б) \( (x^2 + 2x — 1) + (1 — 2x — x^2) = x^2 + 2x — 1 + 1 — 2x — x^2 = 0 \) — противоположны.
при \( x = -\frac{1}{3} \);
\( x^2 + 2x — 1 = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 + 2 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) — 1 = \frac{1}{9} — \frac{2}{3} — 1 = \frac{5}{9} \),
\( 1 — 2x — x^2 = 1 — 2 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) — \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = 1 + \frac{2}{3} — \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \).
Ответ: \( \frac{5}{9} \).
а) Рассмотрим выражение \( (x — y — z) + (y + z — x) \). Нам нужно показать, что эти два двучлена противоположны, то есть их сумма должна быть равна 0. Подставляем значения переменных:
\( (x — y — z) + (y + z — x) = x — y — z + y + z — x \).
Теперь объединяем подобные члены:
Сначала кубические члены с \( x \) (обратите внимание, что они есть в обоих слагаемых): \( x — x = 0 \),
Теперь объединяем члены с \( y \): \( -y + y = 0 \),
И, наконец, члены с \( z \): \( -z + z = 0 \).
Таким образом, результат суммы этих двучленов: \( 0 + 0 + 0 = 0 \). Мы доказали, что эти двучлены противоположны.
Теперь подставим конкретные значения для \( x = 0,3 \), \( y = -0,2 \), \( z = -0,1 \) в исходное выражение:
Первые вычисления:
\( x — y — z = 0,3 — (-0,2) — (-0,1) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6 \),
вторые вычисления:
\( y + z — x = -0,2 + 0,1 — 0,3 = -0,3 — 0,3 = -0,6 \).
Как мы видим, выражения с конкретными значениями также дают противоположные результаты, подтверждая, что двучлены противоположны.
б) Рассмотрим выражение \( (x^2 + 2x — 1) + (1 — 2x — x^2) \). Мы должны доказать, что это выражение упрощается в 0, и двучлены противоположны. Подставим значения переменной \( x = -\frac{1}{3} \) в это выражение:
\( (x^2 + 2x — 1) + (1 — 2x — x^2) \).
Раскроем скобки и упорядочим выражение:
\( x^2 + 2x — 1 + 1 — 2x — x^2 \).
Теперь объединяем подобные члены:
Квадратичные члены: \( x^2 — x^2 = 0 \),
Линейные члены с \( x \): \( 2x — 2x = 0 \),
Постоянные: \( -1 + 1 = 0 \).
Таким образом, результат суммы этих двучленов равен 0, что подтверждает, что они противоположны.
Теперь подставим конкретное значение для \( x = -\frac{1}{3} \):
\( x^2 + 2x — 1 = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 + 2 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) — 1 = \frac{1}{9} — \frac{2}{3} — 1 = \frac{5}{9} \),
\( 1 — 2x — x^2 = 1 — 2 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) — \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = 1 + \frac{2}{3} — \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \).
Ответ: \( \frac{5}{9} \), что подтверждает, что двучлены противоположны и их сумма равна 0.
