ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 652 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:

a) четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 11;

б) трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 37; не делится на 11.

a) Пусть четырёхзначное число записано цифрой \( a \), тогда:

aaaa = \( 1000a + 100a + 10a + a = 1111a \) — делится на 11, так как 1111 делится на 11.

б) Пусть трёхзначное число записано цифрой \( n \), тогда:

nnn = \( 100n + 10n + n = 111n = 37 \cdot 3n \) — делится на 37 и не делится на 11, так как \( 111 = 3 \cdot 37 \).

a) Пусть четырёхзначное число записано цифрой \( a \), тогда:

Для того чтобы представить четырёхзначное число, состоящее из одинаковых цифр, запишем его как \( aaaa \). Это число можно разложить следующим образом:

aaaa = \( 1000a + 100a + 10a + a = 1111a \). Здесь, \( 1000a \) — это цифра \( a \), стоящая в разряде тысяч, \( 100a \) — в разряде сотен, \( 10a \) — в разряде десятков и \( a \) — в разряде единиц. Сумма этих частей даёт \( 1111a \), что является числом, где цифра \( a \) повторяется четыре раза.

Число \( 1111a \) делится на 11, так как 1111 делится на 11. Это свойство делимости объясняется тем, что \( 1111 \) — это число, которое может быть представлено как \( 11 \times 101 \), и таким образом делится на 11. Следовательно, любое число, умноженное на 1111, также делится на 11.

б) Пусть трёхзначное число записано цифрой \( n \), тогда:

Теперь рассмотрим трёхзначное число, состоящее из одинаковых цифр, и запишем его как \( nnn \). Это число можно разложить следующим образом:

nnn = \( 100n + 10n + n = 111n \). Здесь, \( 100n \) — это цифра \( n \), стоящая в разряде сотен, \( 10n \) — в разряде десятков и \( n \) — в разряде единиц. Сумма этих частей даёт число \( 111n \), где цифра \( n \) повторяется три раза.

Число \( 111n \) делится на 37, так как \( 111n = 37 \cdot 3n \). Это свойство делимости объясняется тем, что 111 можно представить как произведение \( 37 \times 3 \), и, следовательно, любое число, которое является кратным 111, делится на 37.

Однако число \( 111n \) не делится на 11. Это происходит потому, что 111 не делится на 11, а число \( 111n \) будет делиться на 11 только в случае, если \( n \) будет делиться на 11. Поскольку 111 и 37 не делятся на 11, то \( 111n \) не делится на 11 для любых значений \( n \), отличных от 11.