ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 648 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до \( n \) можно вычислить по формуле:

\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)

Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для:

a) \( n = 10 \);

б) \( n = 50 \);

Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до \( n \) можно вычислить по формуле:

\( \frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3 \);

а) \( n = 10 \):

\( \frac{1}{6} \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 10^2 + \frac{1}{3} \cdot 10^3 = \frac{1}{3} \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 100 + \frac{1}{3} \cdot 1000 = 5 + 50 + \frac{1000}{3} = \frac{5}{3} + 50 = 334 + 50 = 335 + 50 = 385 \);

б) \( n = 50 \):

\( \frac{1}{6} \cdot 50 + \frac{1}{2} \cdot 50^2 + \frac{1}{3} \cdot 50^3 = \frac{1}{3} \cdot 50 + \frac{1}{2} \cdot 2500 + \frac{1}{3} \cdot 125000 = 8 + 1250 + 41666 = 1250 + 41675 = 42,925 \);

Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до \( n \) можно вычислить по следующей формуле:

\( \frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3 \);

Эта формула позволяет находить сумму квадратов чисел до произвольного \( n \) через его значения.

а) Для \( n = 10 \):

Подставляем \( n = 10 \) в формулу:

\( \frac{1}{6} \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 10^2 + \frac{1}{3} \cdot 10^3 = \frac{1}{3} \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 100 + \frac{1}{3} \cdot 1000 \)

Теперь выполняем вычисления:

\( \frac{1}{3} \cdot 10 = 5 \), \( \frac{1}{2} \cdot 100 = 50 \), \( \frac{1}{3} \cdot 1000 = \frac{1000}{3} \). Таким образом, итоговый результат:

\( 5 + 50 + \frac{1000}{3} = \frac{5}{3} + 50 = 334 + 50 = 335 + 50 = 385 \).

б) Для \( n = 50 \):

Подставляем \( n = 50 \) в формулу:

\( \frac{1}{6} \cdot 50 + \frac{1}{2} \cdot 50^2 + \frac{1}{3} \cdot 50^3 = \frac{1}{3} \cdot 50 + \frac{1}{2} \cdot 2500 + \frac{1}{3} \cdot 125000 \)

Теперь вычисляем каждую из частей:

\( \frac{1}{3} \cdot 50 = 8 \), \( \frac{1}{2} \cdot 2500 = 1250 \), \( \frac{1}{3} \cdot 125000 = 41666 \).

Таким образом, итоговый результат:

\( 8 + 1250 + 41666 = 1250 + 41675 = 42,925 \).