ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 647 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Дан многочлен \( 2a^4 — 3a^3 — a^2 + 5a — 1 \). Подставьте вместо \( a \) данное выражение и приведите многочлен к стандартному виду:

a) \( 2x \);

б) \( -x \);

в) \( 3x^2 \);

г) \( -2x^3 \);

а) \(a=2x\)
Подставляем: \(2 \cdot (2x)^4 — 3 \cdot (2x)^3 — (2x)^2 + 5 \cdot (2x) — 1 =\)
\(= 2 \cdot 16x^4 — 3 \cdot 8x^3 — 4x^2 + 10x — 1 = 32x^4 — 24x^3 — 4x^2 + 10x — 1\)

б) \(a = -x\)
Подставляем: \(2 \cdot (-x)^4 — 3 \cdot (-x)^3 — (-x)^2 + 5 \cdot (-x) — 1 = 2x^4 + 3x^3 — x^2 — 5x — 1\)

в) \(a = 3x^2\)
Подставляем: \(2 \cdot (3x^2)^4 — 3 \cdot (3x^2)^3 — (3x^2)^2 + 5 \cdot (3x^2) — 1 =\)
\(= 2 \cdot 81x^8 — 3 \cdot 27x^6 — 9x^4 + 15x^2 — 1 = 162x^8 — 81x^6 — 9x^4 + 15x^2 — 1\)

г) \(a = -2x^3\)
Подставляем: \(2 \cdot (-2x^3)^4 — 3 \cdot (-2x^3)^3 — (-2x^3)^2 + 5 \cdot (-2x^3) — 1 =\)
\(= 2 \cdot 16x^{12} + 3 \cdot 8x^9 — 4x^6 — 10x^3 — 1 = 32x^{12} + 24x^9 — 4x^6 — 10x^3 — 1\)

а) Пусть \(a = 2x\). Подставим это выражение в многочлен \(2a^4 — 3a^3 — a^2 + 5a — 1\). Для начала возьмём каждую степень \(a\) и выразим через \(x\): \(a^4 = (2x)^4\), \(a^3 = (2x)^3\), \(a^2 = (2x)^2\), \(a = 2x\). Теперь вычислим степени: \((2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4\), \((2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3\), \((2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2\). Подставим эти значения в исходное выражение: \(2 \cdot 16x^4 — 3 \cdot 8x^3 — 4x^2 + 5 \cdot 2x — 1\).

Далее умножаем коэффициенты: \(2 \cdot 16x^4 = 32x^4\), \(3 \cdot 8x^3 = 24x^3\), \(5 \cdot 2x = 10x\). После этого получаем выражение \(32x^4 — 24x^3 — 4x^2 + 10x — 1\), что и является окончательным ответом для данного случая.

б) Теперь рассмотрим \(a = -x\). Аналогично подставим в многочлен: \(2(-x)^4 — 3(-x)^3 — (-x)^2 + 5(-x) — 1\). Сначала вычислим степени: \((-x)^4 = (-1)^4 \cdot x^4 = x^4\), \((-x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -x^3\), \((-x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = x^2\). Подставляем: \(2 \cdot x^4 — 3 \cdot (-x^3) — x^2 + 5 \cdot (-x) — 1\). Умножаем: \(2x^4 + 3x^3 — x^2 — 5x — 1\). Это и есть итоговый результат.

в) Рассмотрим \(a = 3x^2\). Возводим в степени: \((3x^2)^4 = 3^4 \cdot (x^2)^4 = 81x^8\), \((3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3 = 27x^6\), \((3x^2)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 = 9x^4\). Подставляем в многочлен: \(2 \cdot 81x^8 — 3 \cdot 27x^6 — 9x^4 + 5 \cdot 3x^2 — 1\). Умножаем: \(162x^8 — 81x^6 — 9x^4 + 15x^2 — 1\).

г) Наконец, \(a = -2x^3\). Возводим в степени: \((-2x^3)^4 = (-2)^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{12}\), \((-2x^3)^3 = (-2)^3 \cdot (x^3)^3 = -8x^9\), \((-2x^3)^2 = (-2)^2 \cdot (x^3)^2 = 4x^6\). Подставляем: \(2 \cdot 16x^{12} — 3 \cdot (-8x^9) — 4x^6 + 5 \cdot (-2x^3) — 1\). Умножаем: \(32x^{12} + 24x^9 — 4x^6 — 10x^3 — 1\). Это и есть окончательный ответ.