ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 642 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сумму последовательных натуральных чисел от 1 до \(n\) можно вычислить по формуле \(1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{1}{2} n^2 — \frac{1}{2} n\).

Используя формулу, вычислите сумму последовательных натуральных чисел:
а) от 1 до 20;
б) от 1 до 100.

\(1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{1}{2} n^2 — \frac{1}{2} n\)

а) \(n = 20\)
\(1 + 2 + 3 + \ldots + 20 = \frac{1}{2} \cdot 20^2 — \frac{1}{2} \cdot 20 = \frac{1}{2} \cdot 400 — 10 = 200 — 10 = 190\)

б) \(n = 100\)
\(1 + 2 + 3 + \ldots + 100 = \frac{1}{2} \cdot 100^2 — \frac{1}{2} \cdot 100 = \frac{1}{2} \cdot 10000 — 50 = 5000 — 50 =\)
\(= 4950\)

Формула для вычисления суммы последовательных натуральных чисел от 1 до \(n\) выражается как \(1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{1}{2} n^2 — \frac{1}{2} n\). Эта формула основана на свойстве арифметической прогрессии, где сумма первых \(n\) членов равна произведению среднего члена на количество членов. В данном случае средним членом можно считать \(\frac{n+1}{2}\), и умножая на \(n\), мы получаем классическую формулу суммы, которая преобразуется к виду с квадратом \(n\).

Рассмотрим первый случай, когда \(n = 20\). Подставляя значение в формулу, получаем:
\(1 + 2 + 3 + \ldots + 20 = \frac{1}{2} \cdot 20^2 — \frac{1}{2} \cdot 20\).
Выполним вычисления: \(20^2 = 400\), значит выражение становится
\(\frac{1}{2} \cdot 400 — \frac{1}{2} \cdot 20 = 200 — 10 = 190\).
Таким образом, сумма всех натуральных чисел от 1 до 20 равна 190.

Во втором случае, когда \(n = 100\), подставляем в формулу:
\(1 + 2 + 3 + \ldots + 100 = \frac{1}{2} \cdot 100^2 — \frac{1}{2} \cdot 100\).
Вычисляем \(100^2 = 10000\), тогда выражение принимает вид
\(\frac{1}{2} \cdot 10000 — \frac{1}{2} \cdot 100 = 5000 — 50 = 4950\).
Это означает, что сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 равна 4950. Таким образом, используя формулу, можно быстро и точно найти сумму последовательных натуральных чисел без необходимости складывать каждое число отдельно.