ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 633 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеются хотя бы две одинаковые цифры?

1) Всего десятизначных чисел: \(9 \cdot 10^9 = 9\,000\,000\,000\).

2) Количество чисел, записанных различными цифрами (первая цифра не может быть нулём):
\(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 9 \cdot 9!\).

3) Значит, количество десятизначных чисел, в записи которых встречаются хотя бы две одинаковые цифры:
\(9\,000\,000\,000 — 9 \cdot 9!\).

Ответ: \(9\,000\,000\,000 — 9 \cdot 9!\).

1) Общее количество десятизначных натуральных чисел получается так: первый разряд не может быть нулём, значит для него доступно 9 вариантов (\(1\)–\(9\)). Каждый из остальных девяти разрядов может быть любой из 10 цифр (\(0\)–\(9\)). По правилу произведения имеем:
\(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \ldots \cdot 10\) (ещё 9 раз) \(= 9 \cdot 10^9 = 9\,000\,000\,000\).

2) Теперь посчитаем, сколько десятизначных чисел записано различными цифрами (все 10 разрядов попарно различны, первый не равен нулю). Для первого разряда по-прежнему 9 вариантов (\(1\)–\(9\)). После выбора первой цифры остаётся 9 свободных цифр (включая \(0\)) для второго разряда, затем 8 — для третьего, и так далее, вплоть до последнего разряда, где остаётся 1 цифра. Получаем перестановки с учетом запрета нуля в первом разряде:
\(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 9 \cdot 9!.\)
Численно: \(9! = 362\,880\), значит \(9 \cdot 9! = 3\,265\,920\).

3) Число десятизначных чисел, в записи которых встречаются хотя бы две одинаковые цифры, находим по принципу дополнения: из общего количества всех десятизначных чисел вычитаем число чисел с попарно различными цифрами:
\(9\,000\,000\,000 — 9 \cdot 9!\).
Численно: \(9\,000\,000\,000 — 3\,265\,920 = 8\,996\,734\,080\).

Ответ: \(9\,000\,000\,000 — 9 \cdot 9!\) (то есть \(8\,996\,734\,080\)).