ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 625 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколько можно составить пятизначных чисел, меньших 7000, из цифр 1, 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр)?

Всего пятизначных чисел можно составить из данных цифр \(5!\) — без повторения цифр.

Нам нужны числа, которые меньше 7000, значит, среди данных чисел, в которых на первом месте цифра 7 или 9 — \(2 \cdot 4!\).

Итого:
\(5! — 2 \cdot 4! = 4!(5 — 2) = 4! \cdot 3 = 24 \cdot 3 = 72\) (числа).

Ответ: 72 числа.

Рассмотрим перестановки из пяти различных заданных цифр без повторений. Полное число возможных пятизначных чисел при отсутствии каких-либо ограничений находится по формуле числа перестановок: \(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\). Это количество показывает, сколькими способами можно упорядочить пять разных цифр по позициям первого, второго, третьего, четвёртого и пятого разрядов.

Теперь наложим условие «число меньше 7000». Среди всех получающихся пятизначных чисел не удовлетворяют условию те, у которых на первом месте стоит цифра, создающая «слишком большой» первый разряд из доступных нам крупных цифр. По условию рассматриваются случаи, когда в старшем разряде стоит \(7\) или \(9\). Если фиксировать первую цифру равной \(7\) (или \(9\)), то оставшиеся четыре позиции можно заполнить оставшимися четырьмя различными цифрами произвольным образом, то есть \(4!\) способами. Так как таких «запрещённых» первых цифр две, общее число неподходящих вариантов равно \(2 \cdot 4!\).

Используем принцип дополнения (или вычитания): из общего числа всех перестановок вычитаем число неподходящих, получаем количество удовлетворяющих условию чисел:
\(5! — 2 \cdot 4! = 120 — 2 \cdot 24 = 120 — 48 = 72\).

Итого:
\(5! — 2 \cdot 4! = 4!(5 — 2) = 4! \cdot 3 = 24 \cdot 3 = 72\) (числа).

Ответ: 72 числа.