Учебник «Алгебра. 7 класс» авторов Дорофеев Г.В. и Суворова С.Б. — это современное пособие, которое помогает школьникам сделать первые серьезные шаги в изучении алгебры. Книга рассчитана на широкий круг учеников и отличается продуманной структурой, доступным языком и большим количеством разнообразных задач.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 612 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы
а) Сколько имеется вариантов рассадить президентов «большой восьмёрки» за восьмиместным круглым столом переговоров?
б) Сколькими способами десять приятелей могут сесть на десятиместную карусель?
а) Если считать, что за столом разные стулья, то количество вариантов равно \(8!\).
Если же за столом одинаковые стулья, то мы рассматриваем взаимное расположение президентов, и вариантов будет:
\(\frac{8!}{8} = 7!\).
б) Если считать, что карусель состоит из разных предметов, то количество вариантов равно \(10!\).
Если карусель состоит из одинаковых предметов, то мы рассматриваем взаимное расположение приятелей, и вариантов будет:
\(\frac{10!}{10} = 9!\).
а) Если считать, что за столом разные стулья, то количество вариантов расстановки людей на этих стульях можно посчитать как количество перестановок для 8 стульев. Поскольку каждый стул имеет уникальное место, для каждого из 8 человек можно выбрать своё место, и для каждого стула будет один уникальный человек. Таким образом, для разных стульев количество вариантов будет равно факториалу от 8, то есть \(8!\). Мы получаем:
\(8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40 320\).
Это количество вариантов расстановки 8 людей на 8 разных стульях. Количество таких перестановок зависит от того, что все стулья разные, и на каждом из них может сидеть только один человек.
Теперь рассмотрим случай, когда стулья одинаковые. В этом случае мы не учитываем порядок стульев, так как они не различимы. Тогда нам нужно рассматривать только взаимное расположение президентов, то есть как сидят люди, а не какие конкретно стулья они занимают. Поскольку стулья одинаковые, количество вариантов расстановки людей будет меньше, чем в случае с разными стульями. Мы можем рассчитать это, разделив общее количество вариантов \(8!\) на количество стульев (в данном случае 8), так как мы должны исключить одинаковые перестановки. Таким образом, количество вариантов для одинаковых стульев будет равно:
\(\frac{8!}{8} = 7! = 5 040\).
б) Если считать, что карусель состоит из разных предметов, то количество вариантов размещения этих предметов можно посчитать аналогично варианту с разными стульями. В этом случае все предметы уникальны, и для каждого предмета можно выбрать своё место. Таким образом, для размещения 10 разных предметов на карусели количество вариантов будет равно факториалу от 10, то есть \(10!\). Это выражение можно записать как:
\(10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3 628 800\).
Это количество вариантов размещения 10 различных предметов на карусели, где каждый предмет занимает уникальное место.
Если же карусель состоит из одинаковых предметов, то мы снова сталкиваемся с ситуацией, когда порядок предметов не имеет значения. Поскольку все предметы одинаковы, то фактически не имеет значения, в каком порядке они размещаются. Поэтому количество вариантов будет меньше, чем в случае с разными предметами. Нам нужно рассматривать только взаимное расположение людей (или приятелей), а не конкретное размещение предметов. Поскольку предметы одинаковые, то для расчёта количества вариантов мы делим \(10!\) на количество предметов (в данном случае 10), так как перестановки, отличающиеся только местами одинаковых предметов, не считаются различными. Таким образом, количество вариантов для одинаковых предметов будет равно:
\(\frac{10!}{10} = 9! = 362 880\).
