ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 611 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что n! < = nn.

\(n! \leq n^n\)

Так как:

\(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \leq n \cdot n \cdot n \cdot \dots \cdot n\) (по \(n\) раз).

Тогда:

\(1 \leq n\); \(2 \leq n\); \(3 \leq n\); \(n \leq n\).

Следовательно:

\(n! \leq n^n\) — что и требовалось доказать.

\(n! \leq n^n\)

Для того чтобы доказать неравенство \(n! \leq n^n\), давайте разберём, что означают обе части этого неравенства. Число \(n!\) — это факториал числа \(n\), которое вычисляется как произведение всех целых чисел от 1 до \(n\), то есть:

\(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n\).

Число \(n^n\) — это степень числа \(n\), возведённого в степень \(n\), то есть произведение числа \(n\) само на себя \(n\) раз:

\(n^n = n \cdot n \cdot n \cdot \dots \cdot n\) (по \(n\) раз).

Теперь давайте рассмотрим, что происходит при сравнении этих двух выражений. Для того чтобы доказать неравенство \(n! \leq n^n\), нужно понять, что каждый множитель в произведении для \(n!\) (это числа от 1 до \(n\)) всегда меньше либо равен \(n\), так как \(n\) — это максимальное число в произведении. Таким образом, каждый из множителей в разложении \(n!\) не может быть больше \(n\), что позволяет заключить, что произведение этих чисел будет меньше либо равно \(n^n\), в котором на каждом месте стоит число \(n\). Это можно записать как:

\(1 \leq n\); \(2 \leq n\); \(3 \leq n\); и так далее до \(n\).

Таким образом, все множители в произведении для \(n!\) по величине меньше или равны \(n\), что даёт нам неравенство:

\(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \leq n \cdot n \cdot n \cdot \dots \cdot n\) (по \(n\) раз).

Следовательно, получаем заключение, что:

\(n! \leq n^n\) — что и требовалось доказать.