ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 610 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Делится ли 100! на 47? на 99? на 101? на 102?
б) Сколькими нулями оканчивается число 100!?

а) \(100!\) — делится на 47 и на 99, так как:

\(100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot 47 \cdot 48 \cdot 49 \cdot 50 \cdot 51 \cdots \cdot 99 \cdot 100\) — в разложении на множители \(100!\) содержатся числа 47 и 99.

На \(102\) число \(100!\) тоже делится, так как \(2 \cdot 51 = 102\) — в разложении на множители \(100!\) содержится числа 2 и 51.

На \(101\) число \(100!\) не делится, так как число 101 простое и в разложении на множители \(100!\) не содержится число 101.

б) \(100!\) оканчивается 24 нулями, так как:

Нуль на конце даёт произведение 2 и 5. Посчитаем все пятёрки, так как двоек значительно больше пятёрок.

Чисел, делящихся на 5 будет 20 (\(5; 10; 15; \dots; 95; 100\)). Но из них есть те числа, в которые входят два пятёрки: \(25; 50; 75; 100\). Значит, всего пятёрок: \(20 + 4 = 24\). Следовательно, нулей на конце числа \(100!\) тоже 24.

а) \(100!\) — делится на 47 и на 99, так как:

Рассмотрим разложение числа \(100!\) на множители. Напоминаем, что факториал \(100!\) — это произведение всех целых чисел от 1 до 100, то есть:

\(100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot 47 \cdot 48 \cdot 49 \cdot 50 \cdot 51 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100\).

Как видим, в этом произведении содержатся числа 47 и 99. Это значит, что \(100!\) делится на эти числа, так как они входят в состав множителей разложения \(100!\). Поэтому утверждение, что \(100!\) делится на 47 и на 99, верно.

Теперь рассмотрим число 102. Для этого заметим, что \(100!\) содержит число 2, а также число 51. Произведение этих двух чисел даёт 102, так как \(2 \cdot 51 = 102\). Поскольку эти два числа присутствуют в разложении \(100!\), то \(100!\) делится на 102. Следовательно, \(100!\) делится на 102.

Теперь рассмотрим число 101. Это число простое, и в разложении \(100!\) отсутствует число 101, так как \(100!\) содержит только числа от 1 до 100. Следовательно, утверждение, что \(100!\) делится на 101, неверно, так как 101 не входит в разложение \(100!\), и его нет среди множителей этого произведения.

б) \(100!\) оканчивается 24 нулями, так как:

Чтобы определить, сколько нулей на конце числа \(100!\), необходимо подсчитать, сколько раз число \(100!\) делится на 10. Поскольку 10 является произведением 2 и 5, то нужно подсчитать, сколько раз в разложении \(100!\) встречается число 5. Число 2 встречается гораздо чаще, чем 5, поэтому именно количество пятёрок определяет, сколько нулей на конце числа \(100!\).

Числа, делящиеся на 5, это числа \(5; 10; 15; 20; \dots; 95; 100\). Мы видим, что таких чисел 20, так как это все числа, кратные 5, до 100. Но есть и числа, которые делятся на 25, то есть числа, включающие два множителя 5, а именно \(25; 50; 75; 100\). Таких чисел 4. Таким образом, всего пятёрок в разложении \(100!\) будет \(20 + 4 = 24\). Так как каждая пятёрка даёт один ноль на конце числа, то число \(100!\) будет оканчиваться 24 нулями.

Таким образом, общее количество нулей на конце числа \(100!\) равно 24.