ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 606 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколько существует анаграмм слова: а) «факториал»; б) «перестановка»; в) «комбинаторика»?
Указание, а) Временно считайте две буквы «а» различными буквами (обозначьте их «а1» и «а2») и сосчитайте всевозможные анаграммы. Далее учтите, что те анаграммы, которые получаются перестановкой букв «а2» и «а2», на самом деле одинаковы.

а) ФАКТОРИАЛ — две одинаковые буквы (\(a\)), но мы временно их будем считать различными, тогда получим \(9!\) разных слов. Но те слова, которые получаются друг из друга только перестановкой одинаковых букв (\(a\)) на самом деле одинаковые. Следовательно, полученные \(9!\) слов разбиваем на пары одинаковых, то есть, \(\frac{9!}{2!}\) анаграмм.

б) ПЕРЕСТАНОВКА — две буквы (\(е\)) и две буквы (\(а\)). Всего получится \(12!\) слов, но убираем одинаковые слова с буквое (\(е\)) и получаем \(\frac{12!}{2!}\) различных слов. И убираем одинаковые слова с буквой (\(а\)), получаем:

\(\frac{12!}{2! \cdot 2!}\) анаграмм.

в) КОМБИНАТОРИКА — две (\(о\)), две (\(а\)), две (\(и\)), две (\(е\)). Всего получится \(13!\) слов. Так как в данном слове по два раза встречаются буквы (\(о\)), (\(а\)), (\(и\)) и (\(е\)), то для вычисления количества анаграмм делим на факториалы количества одинаковых букв:

\(\frac{13!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!}\) анаграмм.

а) ФАКТОРИАЛ — две одинаковые буквы (\(a\)), но мы временно их будем считать различными, тогда получим \(9!\) различных слов. Для того чтобы вычислить количество возможных перестановок букв в слове, где две буквы одинаковые, необходимо воспользоваться факториалом от общего числа букв. Так как в слове 9 букв и из них две одинаковые, то количество всех возможных вариантов будет равно \(9!\), но так как две буквы одинаковые, количество этих вариантов нужно разделить на факториал от числа одинаковых букв, то есть на \(2!\). Следовательно, количество анаграмм будет равно \(\frac{9!}{2!}\). Этот расчет позволяет исключить дублирующиеся слова, которые могут возникнуть из-за одинаковых букв. Таким образом, общее количество различных анаграмм составляет \(\frac{9!}{2!}\).

б) ПЕРЕСТАНОВКА — две буквы (\(е\)) и две буквы (\(а\)). Всего получится \(12!\) различных слов, если бы все буквы были различными. Однако, так как в этом слове есть одинаковые буквы (\(е\)) и (\(а\)), мы должны исключить из общего числа перестановок те случаи, когда одинаковые буквы будут перемещены между собой, не давая новых уникальных слов. Для этого мы должны разделить общее количество перестановок на факториалы от количества одинаковых букв. Для букв (\(е\)) это \(2!\), а для букв (\(а\)) тоже \(2!\). Таким образом, общее количество различных слов будет равно \(\frac{12!}{2! \cdot 2!}\). Это выражение дает нам точное количество уникальных перестановок букв в слове, учитывая повторяющиеся буквы. Полученное число соответствует количеству возможных уникальных анаграмм данного слова.

в) КОМБИНАТОРИКА — две (\(о\)), две (\(а\)), две (\(и\)), две (\(е\)). Всего получится \(13!\) различных слов, если бы все буквы были различными. Однако в этом слове несколько букв повторяются. Так как в слове присутствуют 4 одинаковые буквы (по две буквы каждого из символов (\(о\)), (\(а\)), (\(и\)) и (\(е\))), то для точного подсчета анаграмм необходимо учесть эти повторы. Количество уникальных перестановок будет вычисляться по формуле \(\frac{13!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!}\), где \(2!\) — это факториал от количества одинаковых букв в каждой группе (для букв (\(о\)), (\(а\)), (\(и\)) и (\(е\))). Таким образом, для получения числа уникальных анаграмм необходимо разделить общее количество возможных перестановок (\(13!\)) на произведение факториалов повторяющихся букв. Полученное число представляет собой количество уникальных способов перестановки этих букв в слово.