ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 606 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколько существует анаграмм слова: а) «факториал»; б) «перестановка»; в) «комбинаторика»?
Указание. а) Временно считайте две буквы «а» различными буквами (обозначьте их «а\(_1\)» и «а\(_2\)») и сосчитайте всевозможные анаграммы. Далее учтите, что те анаграммы, которые получаются перестановкой букв «а\(_1\)» и «а\(_2\)», на самом деле одинаковы.

а) В слове «факториал» всего 9 букв.
Всего анаграмм: \(9! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 = 362880\).
Так как буква «а» повторяется 2 раза, делим на 2:
\(\frac{362880}{2} = 181440\) анаграмм.
Ответ: 181440 анаграмм.

б) В слове «перестановка» всего 12 букв.
Всего анаграмм:
\(12! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 = 479001600\).
Повторяются буквы «е» (2 раза) и «а» (2 раза), значит делим на \(2 \times 2\):
\(\frac{479001600}{2 \times 2} = 119750400\) анаграмм.
Ответ: 119750400 анаграмм.

в) В слове «комбинаторика» всего 13 букв.
Всего анаграмм:
\(13! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 \times 13 = 6227020800\).
Повторяются буквы «о», «к», «и», «а» по 2 раза, значит делим на \(2 \times 2 \times 2 \times 2\):
\(\frac{6227020800}{2 \times 2 \times 2 \times 2} = 389188800\) анаграмм.
Ответ: 389188800 анаграмм.

а) В слове «факториал» всего 9 букв. Если считать все буквы разными, то общее количество анаграмм будет равно числу всех возможных перестановок из 9 различных элементов, то есть \(9!\). Напомним, что факториал числа \(n\) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\), поэтому
\(9! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 = 362880\).
Однако в слове «факториал» буква «а» встречается дважды. При подсчёте всех перестановок мы учли эти буквы как разные, но на самом деле перестановки, которые отличаются только перестановкой этих двух букв между собой, считаются одинаковыми. Чтобы убрать такие повторения, нужно разделить общее число перестановок на количество перестановок одинаковых букв. Поскольку буква «а» повторяется 2 раза, количество таких перестановок равно \(2!\), то есть 2. Следовательно, число уникальных анаграмм равно
\(\frac{9!}{2!} = \frac{362880}{2} = 181440\).
Ответ: 181440 анаграмм.

б) В слове «перестановка» всего 12 букв. Если считать все буквы различными, то количество возможных анаграмм равно \(12!\), то есть произведению всех чисел от 1 до 12:
\(12! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 = 479001600\).
Однако в слове есть повторяющиеся буквы: буква «е» встречается 2 раза, буква «а» — тоже 2 раза. Аналогично первому случаю, перестановки, отличающиеся только перестановкой одинаковых букв, считаются одинаковыми. Для устранения повторов нужно разделить общее количество перестановок на произведение факториалов количества повторяющихся букв, то есть на \(2! \times 2! = 2 \times 2 = 4\). Значит число уникальных анаграмм равно
\(\frac{12!}{2! \times 2!} = \frac{479001600}{4} = 119750400\).
Ответ: 119750400 анаграмм.

в) В слове «комбинаторика» всего 13 букв. Если считать все буквы различными, количество анаграмм будет равно \(13!\), то есть произведению всех чисел от 1 до 13:
\(13! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 \times 13 = 6227020800\).
В этом слове несколько букв повторяются по два раза: «о», «к», «и», «а». Чтобы исключить одинаковые перестановки, возникающие из-за перестановки этих повторяющихся букв, нужно разделить общее число перестановок на произведение факториалов количества повторяющихся букв:
\(2! \times 2! \times 2! \times 2! = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\).
Итоговое количество уникальных анаграмм равно
\(\frac{13!}{2! \times 2! \times 2! \times 2!} = \frac{6227020800}{16} = 389188800\).
Ответ: 389188800 анаграмм.