ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 580 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \( \frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4} \);

б) \( \frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7} \);

в) \( \frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8} \);

г) \( \frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6} \).

а) \( \frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4} = \frac{5^2 \cdot 2^4}{(5 \cdot 2)^4} = \frac{5^2 \cdot 2^4}{5^4 \cdot 2^4} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \)

б) \( \frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7} = \frac{(2^2)^3 \cdot 3^3}{(2 \cdot 3)^3} = \frac{2^6 \cdot 3^3}{2^3 \cdot 3^3} = \frac{2^{6-3}}{1} = 2^3 = 8 \)

в) \( \frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8} = \frac{(3^3)^3 \cdot (5^2)^5}{(3 \cdot 5)^8} = \frac{3^9 \cdot 5^{10}}{3^8 \cdot 5^8} = 3^{9-8} \cdot 5^{10-8} = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75 \)

г) \( \frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6} = \frac{(5^3 \cdot 7^2)^3}{(5 \cdot 7)^6} = \frac{5^{9} \cdot 7^6}{5^6 \cdot 7^6} = 5^{9-6} = 5^3 = 125 \)

1) Рассмотрим выражение

\( \frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4} \).

Сначала раскроем знаменатель. Число 10 можно представить как произведение простых множителей: \(10 = 5 \cdot 2\). Тогда

\(10^4 = (5 \cdot 2)^4 = 5^4 \cdot 2^4\).

Подставим это в исходную дробь:

\( \frac{5^2 \cdot 2^4}{5^4 \cdot 2^4} \).

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель \(2^4\) в числителе и знаменателе сокращается, так как они равны. Остаётся

\( \frac{5^2}{5^4} \).

Применяем правило степеней для деления с одинаковым основанием: степени вычитаются:

\(5^{2-4} = 5^{-2}\).

Степень с отрицательным показателем означает обратное число, то есть

\(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\).

Таким образом,

\( \frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4} = \frac{1}{25} \).

2) Рассмотрим выражение

\( \frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7} \).

Сначала раскроем основания в числителе и знаменателе через простые множители. Число 4 — это \(2^2\), а 6 — это \(2 \cdot 3\). Тогда

\(4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6\),

и

\(6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7\).

Подставим в дробь:

\( \frac{2^6 \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^7} \).

Теперь применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями: степени вычитаются.

Для основания 2:

\(2^{6-7} = 2^{-1} = \frac{1}{2}\),

для основания 3:

\(3^{8-7} = 3^1 = 3\).

Итог:

\( \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1,5 \).

3) Рассмотрим выражение

\( \frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8} \).

Для удобства раскроем числа через простые множители:

\(27 = 3^3\),

\(25 = 5^2\),

\(15 = 3 \cdot 5\).

Тогда

\(27^3 = (3^3)^3 = 3^{9}\),

\(25^5 = (5^2)^5 = 5^{10}\),

\(15^8 = (3 \cdot 5)^8 = 3^8 \cdot 5^8\).

Подставим:

\( \frac{3^{9} \cdot 5^{10}}{3^{8} \cdot 5^{8}} \).

Применим правило вычитания степеней при делении:

Для основания 3:

\(3^{9-8} = 3^1 = 3\),

для основания 5:

\(5^{10-8} = 5^2 = 25\).

Итог:

\(3 \cdot 25 = 75\).

4) Рассмотрим выражение

\( \frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6} \).

Раскроем числа через простые множители:

\(125 = 5^3\),

\(49 = 7^2\),

\(35 = 5 \cdot 7\).

Тогда

\((125 \cdot 49)^3 = (5^3 \cdot 7^2)^3 = 5^{3 \cdot 3} \cdot 7^{2 \cdot 3} = 5^9 \cdot 7^6\),

и

\(35^6 = (5 \cdot 7)^6 = 5^6 \cdot 7^6\).

Подставим:

\(\frac{5^9 \cdot 7^6}{5^6 \cdot 7^6}\).

Сократим одинаковые множители \(7^6\):

\(\frac{5^9}{5^6} = 5^{9-6} = 5^3\).

Вычислим \(5^3\):

\(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\).

Итоговые ответы:

1) \( \frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4} = \frac{1}{25} \).

2) \( \frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7} = \frac{3}{2} = 1,5 \).

3) \( \frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8} = 75 \).

4) \( \frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6} = 125 \).