ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 574 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) \(\frac{10^3}{2^3}\);
б) \(\frac{8^{12}}{2^{30}}\);
в) \(100^4 : 50^4\);
г) \(25^3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^6\);
д) \(\frac{6^6}{3^6}\);
е) \(9^5 : 3^9\);
ж) \(7^3 : 14^3\);
з) \(16^4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^8\).

а) \(\frac{10^3}{2^3} = \left(\frac{10}{2}\right)^3 = 5^3 = 125.\)

б) \(8^{12} : 2^{30} = (2^3)^{12} : 2^{30} = 2^{36} : 2^{30} = 2^{36-30} = 2^6 = 64.\)

в) \(100^4 : 50^4 = \left(\frac{100}{50}\right)^4 = 2^4 = 16.\)

г) \(25^3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^6 = (5^2)^3 \cdot \frac{1}{5^6} = 5^6 \cdot \frac{1}{5^6} = \frac{5^6}{5^6} = 1.\)

д) \(\frac{6^6}{3^6} = \left(\frac{6}{3}\right)^6 = 2^6 = 64.\)

е) \(9^5 : 3^9 = (3^2)^5 : 3^9 = 3^{10} : 3^9 = 3^{10-9} = 3.\)

ж) \(7^3 : 14^3 = \left(\frac{7}{14}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}.\)

з) \(16^4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^8 = (4^2)^4 \cdot \frac{1}{4^8} = 4^8 \cdot \frac{1}{4^8} = \frac{4^8}{4^8} = 1.\)

а) В данном примере нам нужно упростить выражение \(\frac{10^3}{2^3}\). Поскольку степени у чисел одинаковые (возведены в третью степень), можно применить свойство степеней для частного: \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\). Таким образом, мы переписываем выражение как \(\left(\frac{10}{2}\right)^3\). Деление внутри скобок даёт \(5\), поэтому получаем \(5^3\). Возводя 5 в третью степень, получаем \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\).

б) Здесь рассматривается выражение \(8^{12} : 2^{30}\). Сначала нужно представить число 8 в виде степени двойки: \(8 = 2^3\). Тогда \(8^{12} = (2^3)^{12} = 2^{3 \cdot 12} = 2^{36}\). Теперь выражение принимает вид \(2^{36} : 2^{30}\). При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \(2^{36 — 30} = 2^6\). Возводя 2 в шестую степень, получаем \(64\).

в) В выражении \(100^4 : 50^4\) степени одинаковы, поэтому можно применить правило \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\). Делим числа внутри скобок: \(\frac{100}{50} = 2\). Следовательно, получаем \(2^4\). Возводим 2 в четвёртую степень: \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\).

г) Для выражения \(25^3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^6\) сначала представим 25 как \(5^2\), тогда \(25^3 = (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\). Выражение становится \(5^6 \cdot 5^{-6}\), так как \(\left(\frac{1}{5}\right)^6 = 5^{-6}\). При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(5^{6 + (-6)} = 5^0\). Любое число в нулевой степени равно 1, значит результат равен 1.

д) В выражении \(\frac{6^6}{3^6}\) степени одинаковы, значит можно записать как \(\left(\frac{6}{3}\right)^6\). Деление внутри скобок даёт 2, следовательно, получаем \(2^6\). Возводя 2 в шестую степень, получаем \(64\).

е) В выражении \(9^5 : 3^9\) представим 9 как \(3^2\), тогда \(9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}\). Теперь выражение принимает вид \(3^{10} : 3^9\). При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \(3^{10 — 9} = 3^1 = 3\).

ж) В выражении \(7^3 : 14^3\) степени одинаковы, поэтому можно записать как \(\left(\frac{7}{14}\right)^3\). Делим внутри скобок: \(\frac{7}{14} = \frac{1}{2}\). Значит, выражение равно \(\left(\frac{1}{2}\right)^3\). Возводим дробь в степень: \(\frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}\).

з) В выражении \(16^4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^8\) представим 16 как \(4^2\), тогда \(16^4 = (4^2)^4 = 4^{8}\). Выражение становится \(4^8 \cdot 4^{-8}\), так как \(\left(\frac{1}{4}\right)^8 = 4^{-8}\). При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(4^{8 + (-8)} = 4^0 = 1\).