ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 52 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значения выражений \(9a^2\), \((9a)^2\), \(-9a^2\), \((-9a)^2\):
а) при \(a = \frac{1}{6}\); б) при \(a = -0,1\).

а) \(a = \frac{1}{6}\)

\(9a^2 = 9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 9 \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\)

\((9a)^2 = 81a^2 = 81 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 81 \cdot \frac{1}{36} = \frac{81}{36} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\)

\(-9a^2 = -9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = -9 \cdot \frac{1}{36} = -\frac{9}{36} = -\frac{1}{4}\)

\((-9a)^2 = (-9 \cdot \frac{1}{6})^2 = \left(-\frac{9}{6}\right)^2 = \frac{81}{36} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\)

б) \(a = 0,1\)

\(9a^2 = 9 \cdot (0,1)^2 = 9 \cdot 0,01 = 0,09\)

\((9a)^2 = 81a^2 = 81 \cdot (0,1)^2 = 81 \cdot 0,01 = 0,81\)

\(-9a^2 = -9 \cdot (0,1)^2 = -9 \cdot 0,01 = -0,09\)

\((-9a)^2 = (-9 \cdot 0,1)^2 = (-0,9)^2 = 0,81\)

а) \(a = \frac{1}{6}\)

Сначала найдём \(9a^2\). Подставляем значение \(a = \frac{1}{6}\): получаем \(9a^2 = 9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2\). Сначала возводим дробь \(\frac{1}{6}\) в квадрат: \(\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1^2}{6^2} = \frac{1}{36}\). Теперь умножаем \(9\) на \(\frac{1}{36}\): \(9 \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{36}\). Сокращаем дробь, деля числитель и знаменатель на \(9\): \(\frac{9}{36} = \frac{1}{4}\). Значит, \(9a^2 = \frac{1}{4}\).

Теперь найдём \((9a)^2\). Сначала вычислим \(9a\): при \(a = \frac{1}{6}\) имеем \(9a = 9 \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{6}\). Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на \(3\): \(\frac{9}{6} = \frac{3}{2}\). Затем возводим результат в квадрат: \((9a)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}\). В виде смешанного числа \(\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\). Отсюда \((9a)^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\). Заметим, что в решении также используется равенство \((9a)^2 = 81a^2\), так как \(9^2 = 81\), и тогда \(81a^2 = 81 \cdot \frac{1}{36} = \frac{81}{36} = \frac{9}{4}\), что совпадает с полученным результатом.

Далее найдём \(-9a^2\). Это просто отрицательное значение ранее найденного выражения \(9a^2\). Мы уже знаем, что \(9a^2 = \frac{1}{4}\), поэтому \(-9a^2 = -\frac{1}{4}\). Можно также расписать шаги: \(-9a^2 = -9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = -9 \cdot \frac{1}{36} = -\frac{9}{36} = -\frac{1}{4}\). Получается, что знак минус лишь меняет знак результата, а само значение по модулю остаётся таким же.

Теперь вычислим \((-9a)^2\). Сначала найдём произведение \(-9a\): \(-9a = -9 \cdot \frac{1}{6} = -\frac{9}{6}\). Сократим дробь: \(-\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}\). Теперь возводим это число в квадрат: \((-9a)^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{(-3)^2}{2^2} = \frac{9}{4}\). Отрицательный знак при возведении в чётную степень исчезает, поэтому результат положительный. В виде смешанного числа получаем \(\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\). Также в решении показывают, что \((-9a)^2 = (-9 \cdot \frac{1}{6})^2 = \left(-\frac{9}{6}\right)^2 = \frac{81}{36} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\).

б) \(a = 0,1\)

Сначала найдём \(9a^2\). Подставляем \(a = 0,1\): \(9a^2 = 9 \cdot (0,1)^2\). Вычислим квадрат десятичной дроби: \((0,1)^2 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01\), так как при умножении десятичных дробей складываются количества знаков после запятой. Теперь умножаем \(9\) на \(0,01\): \(9 \cdot 0,01 = 0,09\). Значит, \(9a^2 = 0,09\). Здесь видно, что умножение на число меньше единицы уменьшает результат по сравнению с самим числом \(9\).

Теперь найдём \((9a)^2\). Сначала вычислим произведение \(9a\): \(9a = 9 \cdot 0,1 = 0,9\), так как при умножении на \(0,1\) число уменьшается в 10 раз. Затем возводим это число в квадрат: \((9a)^2 = (0,9)^2 = 0,9 \cdot 0,9 = 0,81\). Можно также использовать равенство \((9a)^2 = 81a^2\): тогда \(81a^2 = 81 \cdot (0,1)^2 = 81 \cdot 0,01 = 0,81\), что подтверждает правильность результата. В обоих подходах итог один и тот же, только путь вычисления немного отличается.

Далее найдём \(-9a^2\). Это отрицательное число, противоположное значению \(9a^2\). Мы уже нашли \(9a^2 = 0,09\), поэтому \(-9a^2 = -0,09\). Если расписать подробнее, то \(-9a^2 = -9 \cdot (0,1)^2 = -9 \cdot 0,01 = -0,09\). Отрицательный знак как бы «приписывается» к результату умножения, изменяя знак выражения на противоположный.

Наконец, вычислим \((-9a)^2\). Сначала найдём \(-9a\): \(-9a = -9 \cdot 0,1 = -0,9\). Затем возводим это число в квадрат: \((-9a)^2 = (-0,9)^2 = (-0,9) \cdot (-0,9)\). Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому знак становится плюс, а по модулю получаем \(0,9 \cdot 0,9 = 0,81\). В записи это выглядит как \((-9a)^2 = (-9 \cdot 0,1)^2 = (-0,9)^2 = 0,81\). Таким образом, \((9a)^2\) и \((-9a)^2\) дают одинаковый результат, так как при возведении в квадрат знак числа не влияет на итоговое значение.