ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 514 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите число \(x\), если:
а) \(|x| = |x — 5|\);
б) \(|x| = |x + 14|\);
в) \(|x — 2| = |x — 8|\);
г) \(|x + 3| = |x — 7|\).

Образец. Найдём число \(x\), если \(|x + 2| = |x — 10|\).

Решение. Равенство \(|x + 2| = |x — 10|\) можно прочитать так: расстояние от точки \(x\) до точки \(-2\) равно расстоянию от точки \(x\) до точки 10. Изобразим на координатной прямой числа \(-2\) и 10 и найдём середину отрезка с концами в точках \(-2\) и 10. Получим, что \(x = 4\).

а) Расстояние от точки \(x\) до точки 0 равно расстоянию от точки \(x\) до точки 5. Найдём середину отрезка с концами в точках 0 и 5. Тогда \(x\) равен:
\((0 + 5) : 2 = 0 + 2,5 = 2,5\).
Ответ: \(x = 2,5\).

б) Расстояние от точки \(x\) до точки 0 равно расстоянию от точки \(x\) до точки \(-14\). Найдём середину отрезка с концами в точках \(-14\) и 0. Тогда \(x\) равен:
\((-14 + 0) : 2 = -14 + 7 = -7\).
Ответ: \(x = -7\).

в) Расстояние от точки \(x\) до точки 2 равно расстоянию от точки \(x\) до точки 8. Найдём середину отрезка с концами в точках 2 и 8. Тогда \(x\) равен:
\((2 + 8) : 2 = 2 + 3 = 5\).
Ответ: \(x = 5\).

г) Расстояние от точки \(x\) до точки \(-3\) равно расстоянию от точки \(x\) до точки 7. Найдём середину отрезка с концами в точках \(-3\) и 7. Тогда \(x\) равен:
\((-3 + 7) : 2 = -3 + 5 = 2\).
Ответ: \(x = 2\).

а) Рассмотрим уравнение \(|x| = |x — 5|\). Модуль числа показывает расстояние от точки на числовой оси до начала координат. В данном случае \(|x|\) — это расстояние от точки \(x\) до точки 0, а \(|x — 5|\) — расстояние от точки \(x\) до точки 5. Равенство модулей означает, что расстояния от точки \(x\) до 0 и до 5 одинаковы. Чтобы найти такую точку \(x\), нужно определить середину отрезка с концами в точках 0 и 5, так как именно она будет равноудалена от обоих концов. Середина отрезка вычисляется как среднее арифметическое концов: \((0 + 5) : 2\). Это даёт значение \(2,5\). Значит, точка \(x = 2,5\) находится на равном расстоянии от 0 и 5, что и требуется по условию.

б) Теперь рассмотрим уравнение \(|x| = |x + 14|\). Здесь \(|x|\) — расстояние от точки \(x\) до 0, а \(|x + 14|\) — расстояние от точки \(x\) до точки \(-14\). Равенство модулей говорит, что точка \(x\) находится на одинаковом расстоянии от 0 и от \(-14\). Чтобы найти такую точку, нужно определить середину отрезка с концами в точках \(-14\) и 0. Середина отрезка находится по формуле \((-14 + 0) : 2\), что даёт значение \(-7\). Следовательно, \(x = -7\) — это точка, которая равноудалена от 0 и \(-14\).

в) Рассмотрим уравнение \(|x — 2| = |x — 8|\). Здесь \(|x — 2|\) — расстояние от точки \(x\) до точки 2, а \(|x — 8|\) — расстояние от точки \(x\) до точки 8. Равенство модулей означает, что точка \(x\) находится на одинаковом расстоянии от 2 и 8. Чтобы найти такую точку, нужно определить середину отрезка с концами в точках 2 и 8. Середина отрезка находится по формуле \((2 + 8) : 2\), что даёт значение 5. Значит, \(x = 5\) — это точка, которая равноудалена от 2 и 8.

г) Рассмотрим уравнение \(|x + 3| = |x — 7|\). Здесь \(|x + 3|\) — расстояние от точки \(x\) до точки \(-3\), а \(|x — 7|\) — расстояние от точки \(x\) до точки 7. Равенство модулей говорит, что точка \(x\) находится на одинаковом расстоянии от \(-3\) и 7. Чтобы найти такую точку, нужно определить середину отрезка с концами в точках \(-3\) и 7. Середина отрезка находится по формуле \((-3 + 7) : 2\), что даёт значение 2. Следовательно, \(x = 2\) — это точка, которая равноудалена от \(-3\) и 7.