ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 5 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие из следующих дробей можно представить в виде десятичных:
\(\frac{3}{40}; \frac{7}{15}; \frac{16}{24}; \frac{9}{45}; \frac{14}{50}; \frac{34}{16}?\)

В виде конечной десятичной дроби можно представить только те дроби, которые после сокращения в знаменателе не содержат никаких простых множителей, кроме 2 и 5.

\(\frac{3}{40} = \frac{75}{1000} = 0,075.\)

\(\frac{7}{15} = \frac{7}{3 \cdot 5}\) — нельзя представить.

\(\frac{16}{24} = \frac{2}{3}\) — нельзя представить.

\(\frac{9}{45} = \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0,2.\)

\(\frac{14}{50} = \frac{28}{100} = 0,28.\)

\(\frac{34}{16} = \frac{17}{8} = \frac{2125}{1000} = 2,125.\)

В виде конечной десятичной дроби можно представить только те дроби, у которых после сокращения знаменатель содержит в разложении на простые множители только числа 2 и 5. Это связано с тем, что десятичные дроби с конечным количеством знаков после запятой соответствуют дробям, знаменатель которых является степенью десяти, а десять раскладывается на простые множители как \(2 \cdot 5\).

Рассмотрим каждую дробь по отдельности. Для дроби \(\frac{3}{40}\) знаменатель \(40\) раскладывается на простые множители как \(2^3 \cdot 5\). Поскольку в знаменателе присутствуют только 2 и 5, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. После приведения к знаменателю 1000 получаем \(\frac{75}{1000} = 0,075\).

Для дроби \(\frac{7}{15}\) знаменатель \(15\) раскладывается как \(3 \cdot 5\). Здесь есть простой множитель 3, который не равен 2 или 5, поэтому дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Дробь \(\frac{16}{24}\) сокращается до \(\frac{2}{3}\), у которой знаменатель 3 — простой множитель, отличный от 2 и 5. Следовательно, конечной десятичной дробью она не является.

Дробь \(\frac{9}{45}\) сокращается до \(\frac{1}{5}\), знаменатель которой равен 5. Это допустимый множитель, и дробь равна \(\frac{2}{10} = 0,2\) — конечная десятичная дробь.

Дробь \(\frac{14}{50}\) приводится к виду \(\frac{28}{100}\), где знаменатель \(100 = 2^2 \cdot 5^2\). Это значит, что дробь равна \(0,28\) и является конечной десятичной.

Наконец, дробь \(\frac{34}{16}\) сокращается до \(\frac{17}{8}\), где знаменатель \(8 = 2^3\). Здесь нет простых множителей, кроме 2, поэтому дробь равна \(\frac{2125}{1000} = 2,125\) — конечная десятичная дробь.