ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 408 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из корзины отсыпали половину орехов, потом ещё половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. После этого в корзине осталось 10 орехов. Сколько орехов было в корзине первоначально?

арифметический способ
10 · 2 = 20 орехов – последний остаток
20 · 2 = 40 орехов – предпоследний остаток
40 · 2 = 80 орехов – предпредпоследний остаток
80 · 2 = 160 орехов – было в корзине первоначально

Ответ: 160 орехов

алгебраический способ
\(x\) орехов – было в корзине первоначально

\(\left(x — \frac{1}{2}x\right) = \frac{1}{2}x\) орехов – осталось в корзине после первого отсыпания

\(\frac{1}{2}x — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x — \frac{1}{4}x = \frac{1}{4}x\) орехов – осталось после второго отсыпания

\(\frac{1}{4}x — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}x = \frac{1}{4}x — \frac{1}{8}x = \frac{1}{8}x\) орехов – осталось после третьего отсыпания

\(\frac{1}{8}x — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}x = \frac{1}{8}x — \frac{1}{16}x = \frac{1}{16}x\) орехов – осталось после четвертого отсыпания

т.к. всего осталось 10 орехов, то
\(\frac{1}{16}x = 10\)

\(x = 10 : \frac{1}{16} = 10 \cdot 16 = 160\) орехов – было в корзине первоначально

Ответ: 160 орехов

Арифметический способ.

1) В корзине осталось:

В задаче дается выражение для количества орехов, которые остались в корзине. Мы начинаем с того, что изначально в корзине было некоторое количество орехов, а затем поочередно забирались определенные доли этого количества. Для вычисления остатка нужно вычислить выражение, которое состоит из нескольких вычитаний дробей:

\[
\left( 1 — \frac{1}{2} \right) — \left( 1 — \frac{1}{4} \right) — \left( 1 — \frac{1}{8} \right) — \left( 1 — \frac{1}{16} \right)
\]

Каждую дробь вычитаем поэтапно:

\[
\frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{2}{4} — \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
\]

\[
\frac{1}{4} — \frac{1}{8} = \frac{2}{8} — \frac{1}{8} = \frac{1}{8}
\]

\[
\frac{1}{8} — \frac{1}{16} = \frac{2}{16} — \frac{1}{16} = \frac{1}{16}
\]

Таким образом, оставшаяся часть орехов составляет \( \frac{1}{16} \) части от первоначального количества орехов.

2) В корзине было:

Зная, что в корзине осталась \( \frac{1}{16} \) часть орехов, мы можем вычислить общее количество орехов в корзине, умножив оставшуюся долю на 10, так как \( \frac{1}{16} \) части равны 10 орехам. Тогда:

\[
10 \times \frac{1}{16} = 160 \quad \text{(орехов)}.
\]

Таким образом, всего в корзине было 160 орехов.

Ответ: 160 орехов.

Алгебраический способ.

Теперь давайте решим задачу с помощью алгебры. Пусть в корзине было \(x\) орехов. Тогда из этого количества орехов забирались определенные доли, и в итоге осталась \( \frac{1}{16} \) часть от исходного количества орехов. Для нахождения \(x\) составим уравнение:

\[
x \times \left( 1 — \frac{1}{2} \right) \times \left( 1 — \frac{1}{4} \right) \times \left( 1 — \frac{1}{8} \right) \times \left( 1 — \frac{1}{16} \right) = 160
\]

Здесь \(x\) — это изначальное количество орехов в корзине, и по ходу решения мы сокращаем каждую часть, соответственно вычитая дроби:

\[
x \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{7}{8} \times \frac{15}{16}
\]

Теперь мы можем решить это уравнение, но для упрощения давайте разобьем его шаг за шагом.

Шаг 1: Умножим все дроби, полученные в результате вычитания:

\[
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{7}{8} \times \frac{15}{16} = \frac{1 \times 3 \times 7 \times 15}{2 \times 4 \times 8 \times 16} = \frac{315}{1024}
\]

Шаг 2: Теперь составим уравнение для \(x\):

\[
x \times \frac{315}{1024} = 160
\]

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на \( \frac{1024}{315} \), чтобы выразить \(x\):

\[
x = 160 \times \frac{1024}{315} = 160 \times 3.25 = 520
\]

Таким образом, изначально в корзине было 520 орехов.

Ответ: 160 орехов.