ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 34 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Запишите каждое выражение в виде произведения или степени:
а) \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) и \(2 + 2 + 2 + 2 + 2\);
б) \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\) и \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3};\)
в) \(a + a + a\) и \(a \cdot a \cdot a;\)
г) \(x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x\) (20 множителей) и \(x + x + x + \ldots + x\) (20 слагаемых).

а) Произведение одинаковых множителей \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) можно записать в виде степени: \(2^5\).
Сумму одинаковых слагаемых \(2 + 2 + 2 + 2 + 2\) можно записать как умножение: \(2 \cdot 5\).

б) Сумма одинаковых дробей \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\) равна \(4 \cdot \frac{1}{3}\).
Произведение одинаковых дробей \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\) записывается как степень: \(\left(\frac{1}{3}\right)^4\).

в) Сумма одинаковых слагаемых \(a + a + a\) равна \(3a\).
Произведение одинаковых множителей \(a \cdot a \cdot a\) записывается как степень: \(a^3\).

г) Произведение \(x \cdot x \cdot \ldots \cdot x\) из 20 множителей равно \(x^{20}\).
Сумма \(x + x + \ldots + x\) из 20 слагаемых равна \(20x\).

а) Когда мы видим выражение \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\), то замечаем, что число 2 умножается само на себя пять раз подряд. Такое повторение одинакового множителя можно компактно записать с помощью степени, где основание — это число 2, а показатель степени — количество множителей, то есть 5. Поэтому выражение \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) записывается как \(2^5\). Это сокращает запись и делает её более удобной для понимания и вычислений.

С другой стороны, если у нас есть сумма одинаковых слагаемых, например, \(2 + 2 + 2 + 2 + 2\), то это можно представить как умножение числа 2 на количество этих слагаемых, то есть на 5. Поэтому сумма равна \(2 \cdot 5\). Здесь мы используем свойство, что сложение одинаковых чисел можно заменить умножением, что упрощает вычисления и запись.

б) В случае с дробями, например, \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\), мы видим, что складываем одинаковые дроби. Аналогично предыдущему примеру, сумму одинаковых слагаемых можно заменить умножением: \(4 \cdot \frac{1}{3}\), где 4 — количество слагаемых. Это упрощает выражение и облегчает дальнейшие вычисления.

Если же мы рассматриваем произведение одинаковых дробей, например, \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\), то такое повторение множителя можно записать в виде степени. Основание степени — сама дробь \(\frac{1}{3}\), а показатель степени — количество множителей, то есть 4. Следовательно, произведение равно \(\left(\frac{1}{3}\right)^4\). Это позволяет компактно выразить многократное умножение одинаковых чисел.

в) Рассмотрим выражение \(a + a + a\). Здесь три одинаковых слагаемых \(a\). По свойству сложения одинаковых чисел, это можно заменить умножением: \(3a\), где 3 — количество слагаемых. Такая запись более компактна и удобна.

Если же взять произведение \(a \cdot a \cdot a\), то это повторение множителя \(a\) три раза. В математике для краткой записи повторяющегося умножения используется степень. Основание степени — число \(a\), а показатель степени — количество множителей, то есть 3. Поэтому произведение можно записать как \(a^3\). Это сокращает длинные записи и упрощает работу с выражениями.

г) В последнем примере у нас есть произведение \(x \cdot x \cdot \ldots \cdot x\), где множитель \(x\) повторяется 20 раз. Записать это в компактной форме можно с помощью степени: \(x^{20}\). Основание степени — число \(x\), а показатель — количество множителей, 20. Это стандартный способ записи повторяющегося умножения в математике, который значительно упрощает восприятие и вычисления.

Аналогично для суммы \(x + x + \ldots + x\), состоящей из 20 одинаковых слагаемых, можно использовать умножение: \(20x\). Здесь 20 — количество слагаемых, а \(x\) — само слагаемое. Такая запись более удобна и компактна по сравнению с длинным перечислением одинаковых слагаемых.