ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 329 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что число:
а) записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37;
б) записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 11 и на 101.

a) Пусть дано число из трёх одинаковых цифр: \( 100a + 10a + a \).

\( (100a + 10a + a) : 37 = 111a : 37 = 3a \)

Значит, число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.

б) Пусть дано число из четырёх одинаковых цифр: \( 1000a + 100a + 10a + a \).

\( 1000a + 100a + 10a + a = 1111a \)

\( 1111a : 11 = 101a \quad \text{и} \quad 1111a : 101 = 11a \)

Значит, число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 11 и на 101.

a) Пусть дано число из трёх одинаковых цифр: \( 100a + 10a + a \). Для того, чтобы упростить это выражение, сначала соберём все коэффициенты при \(a\):

\( 100a + 10a + a = 111a \)

Таким образом, выражение для числа из трёх одинаковых цифр будет равно \( 111a \). Теперь рассмотрим его деление на 37:

\( \frac{111a}{37} = 3a \)

Значит, число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37. Это утверждение справедливо для любого числа, состоящего из трёх одинаковых цифр, где \(a\) — цифра числа.

б) Пусть дано число из четырёх одинаковых цифр: \( 1000a + 100a + 10a + a \). Рассмотрим выражение и начнём с приведения подобных членов:

\( 1000a + 100a + 10a + a = 1111a \)

Теперь имеем число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами, равное \( 1111a \). Следующее действие — деление этого числа на 11 и на 101:

\( \frac{1111a}{11} = 101a \quad \text{и} \quad \frac{1111a}{101} = 11a \)

Таким образом, число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 11 и на 101. Это означает, что любое число, состоящее из четырёх одинаковых цифр, делится как на 11, так и на 101. Данное свойство применимо к любому числу, записанному четырьмя одинаковыми цифрами, где \(a\) — цифра этого числа.