ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 318 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Предложите какую-нибудь интерпретацию равенства — на «языке денег» или на «языке расстояний»:
а) (х + z) — (у + z) = х — у;
б) x-(y-z + t) = x- y + z-t.

а) \((x+z)-(y+z)=x-y\)

План: нужно найти, сколько метров забора осталось покрасить после изменения.

Было запланировано покрасить \(x\) м, в первый день — \(y\) м, оставалось бы \(x-y\) м. Длину забора увеличили на \(z\) м, и в первый день он покрасил на \(z\) м больше, то есть \(y+z\) м. Теперь всего нужно покрасить \(x+z\) м, значит осталось \((x+z)-(y+z)=x-y\) м.

б) \(x-(y-z+t)=x-y+z-t\)

План: нужно найти, сколько денег осталось у Коли и Саши вместе.

У Коли было \(x\) рублей, у Саши — \(z\) рублей, вместе \(x+z\) рублей. Коля потратил \(y\) рублей, Саша — \(t\) рублей, тогда осталось \(x-y+z-t\) рублей. Это выражается как \(x-(y-z+t)=x-y+z-t\).

а) \((x+z)-(y+z)=x-y\)

Сначала разберёмся с ситуацией в задаче. Рабочий планировал покрасить \(x\) метров забора. В первый день по плану он должен был покрасить \(y\) метров. Если бы длина забора не менялась, то после первого дня у него осталось бы покрасить \(x-y\) метров: всего нужно \(x\), из них уже сделано \(y\), поэтому остаток равен разности \(x-y\).

Но по условию длину забора увеличили на \(z\) метров. Значит, общий объём работы стал не \(x\), а \(x+z\) метров: к исходной длине добавили ещё \(z\) метров. Кроме того, в первый день он покрасил не просто \(y\) метров, а на \(z\) метров больше, чем планировал, то есть \(y+z\) метров. Тогда количество метров, оставшихся на следующие дни, можно записать как разность: всего нужно \(x+z\), уже покрасил \(y+z\), значит осталось \((x+z)-(y+z)\) метров.

Теперь упростим выражение \((x+z)-(y+z)\). Раскроем скобки, учитывая, что перед вторыми скобками стоит знак минус, который меняет знаки всех слагаемых внутри: \((x+z)-(y+z)=x+z-y-z\). Далее сгруппируем подобные слагаемые: \(x+z-y-z=x-y+(z-z)\). Так как \(z-z=0\), выражение превращается в \(x-y\). Это совпадает с тем количеством метров, которое осталось бы без всяких изменений длины забора. Поэтому окончательный результат: \((x+z)-(y+z)=x-y\), и именно столько метров забора остаётся покрасить.

б) \(x-(y-z+t)=x-y+z-t\)

Теперь подробно разберём вторую ситуацию. Пусть у Коли было \(x\) рублей, а у Саши \(z\) рублей. Тогда вместе у них было \(x+z\) рублей. Однако в условии итоговая сумма после покупок дана другим выражением, поэтому сосредоточимся на том, как изменяются деньги. Коля покупает мяч за \(y\) рублей, то есть от его суммы \(x\) вычитается \(y\). Саша покупает книгу за \(t\) рублей, от его суммы \(z\) вычитается \(t\). В итоге после покупок у Коли остаётся \(x-y\) рублей, у Саши \(z-t\) рублей. Если сложить оставшиеся деньги, получим \((x-y)+(z-t)=x-y+z-t\) рублей.

Это же итоговое количество денег можно записать и в виде одного выражения с вычитанием скобок: \(x-(y-z+t)\). Здесь \(x\) обозначает исходные деньги Коли, а в скобках стоит выражение \(y-z+t\), которое по условию связано с общими тратами и недостающей суммой. Чтобы показать, что оба способа записи дают один и тот же результат, нужно раскрыть скобки в выражении \(x-(y-z+t)\).

Раскроем скобки в \(x-(y-z+t)\), аккуратно изменив знаки слагаемых: \(x-(y-z+t)=x-y+z-t\). Это происходит так: минус перед скобками меняет знак у каждого члена внутри скобок: \(y\) превращается в \(-y\), \(-z\) в \(+z\), \(+t\) в \(-t\). В итоге получаем \(x-y+z-t\). Мы видим, что это выражение совпадает с ранее найденной суммой оставшихся денег у Коли и Саши: \(x-y+z-t\). Значит, запись \(x-(y-z+t)=x-y+z-t\) верно описывает, сколько денег осталось у них вместе после покупок.