ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 31 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Убедитесь, что при данных значениях \(x, y, z\) значение выражения \(\frac{x — y}{z — y} + \frac{x — z}{y — z}\) равно 1:

а) \(x = 12, y = 4, z = -5\);

б) \(x = -2,5, y = 2,5, z = 3\);

в) \(x = 105, y = 20,5, z = -65\).

а) при \(x=12\), \(y=4\), \(z=-5\):

\(\frac{x — y}{z — y} + \frac{x — z}{y — z} = \frac{12 — 4}{-5 — 4} + \frac{12 — (-5)}{4 — (-5)} = \frac{8}{-9} + \frac{17}{9} = -\frac{8}{9} + \frac{17}{9} = \frac{9}{9} = 1\)

б) при \(x = -2,5\), \(y = 2,5\), \(z = 3\):

\(\frac{x — y}{z — y} + \frac{x — z}{y — z} = \frac{-2,5 — 2,5}{3 — 2,5} + \frac{-2,5 — 3}{2,5 — 3} = \frac{-5}{0,5} + \frac{-5,5}{-0,5} = -10 + 11 = 1\)

в) при \(x = 105\), \(y = 20,5\), \(z = -65\):

\(\frac{x — y}{z — y} + \frac{x — z}{y — z} = \frac{105 — 20,5}{-65 — 20,5} + \frac{105 — (-65)}{20,5 — (-65)} = \frac{84,5}{-85,5} + \frac{170}{85,5} = -\frac{84,5}{85,5} + \frac{170}{85,5} = \frac{85,5}{85,5} = 1\)

Рассмотрим выражение \(\frac{x — y}{z — y} + \frac{x — z}{y — z}\) при заданных значениях переменных. Для каждого случая внимательно вычислим числители и знаменатели дробей, чтобы убедиться, что сумма равна 1.

В первом случае, при \(x = 12\), \(y = 4\), \(z = -5\), сначала вычислим числитель первой дроби: \(x — y = 12 — 4 = 8\). Знаменатель первой дроби: \(z — y = -5 — 4 = -9\). Первая дробь равна \(\frac{8}{-9} = -\frac{8}{9}\). Во второй дроби числитель \(x — z = 12 — (-5) = 12 + 5 = 17\), а знаменатель \(y — z = 4 — (-5) = 4 + 5 = 9\). Вторая дробь равна \(\frac{17}{9}\). Складываем дроби: \(-\frac{8}{9} + \frac{17}{9} = \frac{-8 + 17}{9} = \frac{9}{9} = 1\).

Во втором случае, при \(x = -2,5\), \(y = 2,5\), \(z = 3\), вычислим числитель первой дроби: \(x — y = -2,5 — 2,5 = -5\). Знаменатель первой дроби: \(z — y = 3 — 2,5 = 0,5\). Первая дробь равна \(\frac{-5}{0,5} = -10\). Во второй дроби числитель равен \(x — z = -2,5 — 3 = -5,5\), а знаменатель \(y — z = 2,5 — 3 = -0,5\). Вторая дробь равна \(\frac{-5,5}{-0,5} = 11\). Складываем: \(-10 + 11 = 1\).

В третьем случае, при \(x = 105\), \(y = 20,5\), \(z = -65\), вычислим числитель первой дроби: \(x — y = 105 — 20,5 = 84,5\). Знаменатель первой дроби: \(z — y = -65 — 20,5 = -85,5\). Первая дробь равна \(\frac{84,5}{-85,5} = -\frac{84,5}{85,5}\). Во второй дроби числитель \(x — z = 105 — (-65) = 105 + 65 = 170\), а знаменатель \(y — z = 20,5 — (-65) = 20,5 + 65 = 85,5\). Вторая дробь равна \(\frac{170}{85,5}\). Складываем: \(-\frac{84,5}{85,5} + \frac{170}{85,5} = \frac{-84,5 + 170}{85,5} = \frac{85,5}{85,5} = 1\).

Таким образом, во всех трех случаях при заданных значениях \(x, y, z\) выражение \(\frac{x — y}{z — y} + \frac{x — z}{y — z}\) действительно равно 1, что подтверждает правильность подстановок и вычислений.