ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 262 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократите её:

а) \( \frac{4xy}{5yz} \);

б) \( \frac{15km}{10nm} \);

в) \( \frac{8ab}{12abc} \);

г) \( \frac{7xyz}{21xz} \);

д) \( \frac{6mnk}{9knp} \);

е) \( \frac{2x^2}{3x} \);

ж) \( \frac{4a}{6a^2} \);

з) \( \frac{10c^3}{12c^2} \);

а) \(\frac{4xy}{5yz}=\frac{4xy:y}{5yz:y}=\frac{4x}{5z}\)

б) \(\frac{15km}{10mn}=\frac{15km:m}{10mn:m}=\frac{15k}{10n}=\frac{15k:5}{10n:5}=\frac{3k}{2n}\)

в) \(\frac{8ab}{12abc}=\frac{8ab:(4ab)}{12abc:(4ab)}=\frac{2}{3c}\)

г) \(\frac{7xyz}{21xz}=\frac{7xyz:(7xz)}{21xz:(7xz)}=\frac{y}{3}\)

д) \(\frac{6mnk}{9knp}=\frac{6mnk:(3nk)}{9knp:(3nk)}=\frac{2m}{3p}\)

е) \(\frac{2x^2}{3x}=\frac{2x^2:x}{3x:x}=\frac{2x}{3}\)

ж) \(\frac{4a}{6a^2}=\frac{4a:(2a)}{6a^2:(2a)}=\frac{2}{3a}\)

з) \(\frac{10c^3}{12c}=\frac{10c^3:(2c)}{12c:(2c)}=\frac{5c^2}{6}\)

а) \(\frac{4xy}{5yz}\). Сначала смотрим, какие множители можно сократить: в числителе есть \(y\), и в знаменателе тоже есть \(y\). Это общий множитель, значит делим числитель и знаменатель на \(y\): \(\frac{4xy}{5yz}=\frac{4x\cdot y:y}{5z\cdot y:y}\). После деления \(y:y=1\), поэтому \(y\) исчезает и остаётся \(\frac{4x}{5z}\). Дополнительно ничего сократить нельзя, так как \(4\) и \(5\) взаимно простые, а \(x\) и \(z\) разные переменные, поэтому окончательно \(\frac{4xy}{5yz}=\frac{4x}{5z}\).

б) \(\frac{15km}{10mn}\). Общий множитель здесь \(m\): он есть и сверху, и снизу. Сокращаем дробь на \(m\), то есть делим числитель и знаменатель на \(m\): \(\frac{15km}{10mn}=\frac{15k\cdot m:m}{10n\cdot m:m}=\frac{15k}{10n}\). Теперь можно сократить числовую часть, так как \(15\) и \(10\) делятся на \(5\): \(\frac{15k}{10n}=\frac{15:5\cdot k}{10:5\cdot n}=\frac{3k}{2n}\). Больше сокращать нельзя, потому что \(3\) и \(2\) взаимно простые, а \(k\) и \(n\) разные переменные, значит итог \(\frac{15km}{10mn}=\frac{3k}{2n}\).

в) \(\frac{8ab}{12abc}\). Находим общий множитель: в числителе есть \(a\) и \(b\), и в знаменателе есть \(a\), \(b\), а также \(c\). Значит можно сократить на \(ab\), а ещё удобно одновременно сократить числовые коэффициенты. Общий делитель для \(8ab\) и \(12abc\) — это \(4ab\). Делим числитель и знаменатель на \(4ab\): \(\frac{8ab}{12abc}=\frac{8ab:(4ab)}{12abc:(4ab)}\). Получаем \(\frac{8ab:(4ab)}{12abc:(4ab)}=\frac{2}{3c}\), потому что \(8ab:(4ab)=2\), а \(12abc:(4ab)=3c\). Дальше сократить нельзя, так как в числителе нет \(c\), поэтому итог \(\frac{8ab}{12abc}=\frac{2}{3c}\).

г) \(\frac{7xyz}{21xz}\). Общие множители в числителе и знаменателе: \(7\), \(x\), \(z\). Это означает, что дробь можно сократить на \(7xz\). Делим числитель и знаменатель на \(7xz\): \(\frac{7xyz}{21xz}=\frac{7xyz:(7xz)}{21xz:(7xz)}\). В числителе остаётся \(y\), потому что \(\frac{7xyz}{7xz}=y\), а в знаменателе остаётся \(3\), потому что \(\frac{21xz}{7xz}=3\). Значит \(\frac{7xyz}{21xz}=\frac{y}{3}\). Дополнительного сокращения нет, так как \(y\) и \(3\) не имеют общих множителей.

д) \(\frac{6mnk}{9knp}\). Общие множители: \(k\) есть и сверху и снизу, также общий числовой делитель у \(6\) и \(9\) равен \(3\). Удобно сокращать сразу на \(3nk\), как в решении с картинки: \(\frac{6mnk}{9knp}=\frac{6mnk:(3nk)}{9knp:(3nk)}\). После деления в числителе \(6mnk:(3nk)=2m\), потому что \(6:3=2\), \(n\) и \(k\) сокращаются, остаётся \(m\). В знаменателе \(9knp:(3nk)=3p\), потому что \(9:3=3\), \(n\) и \(k\) сокращаются, остаётся \(p\). Итого \(\frac{6mnk}{9knp}=\frac{2m}{3p}\), дальше сократить нельзя (2 и 3 взаимно простые, \(m\) и \(p\) разные переменные).

е) \(\frac{2x^2}{3x}\). Видим общий множитель \(x\): в числителе \(x^2\), в знаменателе \(x\). Сокращаем на \(x\), деля числитель и знаменатель на \(x\): \(\frac{2x^2}{3x}=\frac{2x^2:x}{3x:x}\). Деление \(x^2:x\) даёт \(x\), потому что \(x^2=x\cdot x\), значит \(\frac{x\cdot x}{x}=x\). В знаменателе \(3x:x=3\). Получаем \(\frac{2x}{3}\). Числа \(2\) и \(3\) не сокращаются, поэтому окончательно \(\frac{2x^2}{3x}=\frac{2x}{3}\).

ж) \(\frac{4a}{6a^2}\). Общий множитель здесь \(2a\): он делит и числитель \(4a\), и знаменатель \(6a^2\). Делим числитель и знаменатель на \(2a\): \(\frac{4a}{6a^2}=\frac{4a:(2a)}{6a^2:(2a)}\). В числителе \(4a:(2a)=2\), потому что \(4:2=2\) и \(a:a=1\). В знаменателе \(6a^2:(2a)=3a\), потому что \(6:2=3\), а \(a^2:a=a\). Получаем \(\frac{2}{3a}\). Больше сокращать нельзя, так как \(2\) и \(3\) взаимно простые, а \(a\) в числителе нет.

з) \(\frac{10c^3}{12c}\). Общий множитель удобно взять \(2c\), так как он делит и \(10c^3\), и \(12c\). Делим числитель и знаменатель на \(2c\): \(\frac{10c^3}{12c}=\frac{10c^3:(2c)}{12c:(2c)}\). В числителе \(10c^3:(2c)=5c^2\), потому что \(10:2=5\), а \(c^3:c=c^2\). В знаменателе \(12c:(2c)=6\), потому что \(12:2=6\) и \(c:c=1\). Итак, \(\frac{10c^3}{12c}=\frac{5c^2}{6}\). Сокращения больше нет, так как \(5\) и \(6\) взаимно простые.